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对数螺线是什么
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对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极.据说,使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线,这种图形只存在科学家的假想中.　　螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：　　ρ=αe^(kφ) 　　其中,α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数的底.为了讨论方便,我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”.因此,“自然律”的核心是e,其值为2.71828……,是一个无限不循环小数.　　对数螺线在自然界中最为普遍存在,其它螺线也与对数螺线有一定的关系,不过目前我们仍未找到螺线的通式.
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习题 6?2? 1? 求图 6?21 中各画斜线部分的面积? (1)解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为3 1 A ? ?0 ( x ? x)dx ?[ 2 x 2 ? 1 x 2 ]1 ?1 . 3 2 0 6(2)A ? ?0 (e ? e x )dx ? (ex ? e x )|1 0 ?1 ?1e ? dy ? e ? (e ?1) ?1 ? A ? ?1 ln ydy ? y ln y |1 ?1e(3)www.tte解法二 画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为le解法一 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为arn.net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为A ? ??3[(3 ? x 2 ) ? 2x]dx ? 32 ? 31(4)解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y ? 1 x 2 与 x2?y2?8(两部分都要计算)? 2 解?ww2 2 2 2 A1 ? 2?0 ( 8 ? x 2 ? 1 x 2 )dx ? 2?0 8 ? x 2 dx ? ?0 x 2dx ? 2?0 8 ? x 2 dx ? 8 2 3天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.? 16?04 cos2 tdt ? 8 ? 2? ? 4 ? 3 3?ttlear32 ? A ? ??1(2x ? 3 ? x 2 )dx ? ( x 2 ? 3x ? 1 x3)|3 ?1? 3 33n.net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。A2 ? (2 2 )2? ? S1 ? 6? ? 4 ? 3(2) y ? 1 与直线 y?x 及 x?2? x解?所求的面积为A ? ?0 (e x ? e? x )dx ? e ? 1 ? 2 ? e1ww(4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (b&a&0). 解天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.所求的面积为ttlearn.(3) y?ex? y?e?x 与直线 x?1? 解?neA ? ? ( x ? 1 )dx ? 3 ? ln 2 ? 1 x 22t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。所求的面积为A ? ?ln a e y dy ? e y ln a ? b ? aln b ln b3? 求抛物线 y??x2?4x?3 及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?两切线的交点为 ( 3 , 3) ? 所求的面积为 23 3解p 3p 法线的方程为 y ? p ? ?(x ? ) ? 即 x ? ? y ? 2 2ww2y?y??2p ?p p 在点 ( , p) 处? y? ? ( p , p) ?1 ? 法线的斜率 k??1? y 2 2天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttlep 4? 求抛物线 y2=2px 及其在点 ( , p) 处的法线所围成的图形的面积? 2arA ? ?02 [4x ? 3 ? (? x 2 ? 4x ? 3)] ? ?3 [?2x ? 6 ? (? x 2 ? 4x ? 3]dx ? 9 ? 4 2n.ney???2 x?4? 过点(0, ?3)处的切线的斜率为 4? 切线方程为 y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为 y??2x?6?t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。p 求得法线与抛物线的两个交点为 ( , p) 和 ( 9 p,?3 p) ? 2 2法线与抛物线所围成的图形的面积为A ? ??3 p (p3p y2 3p p 16 p 2 ? ? y ? )dy ? ( y ? 1 y 2 ? 1 y 3) ? 3p ? 2 2p 2 2 6p 35? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积? (1)??2acos? ??? 解?所求的面积为A ? 1 ? 2? (2a cos? )2 d? ? 4a 2 ?02 cos2 ?d? ??a2? 2 ?2? ?ww所求的面积为aw.ttA ? 4?0 ydx ? 4?? (a sin 3 t)d (a cos3 t) ? 4a 2 ?02 3 cos2 t sin 4 tdt2 0?12a 2[?02 sin 4 tdt ? ?02 sin 6 tdt] ? 3 ?a 2 ? 8??天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。le?ar(2)x?acos3t, y?asin3t; 解n.net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。(3)?=2a(2+cos? )? 解所求的面积为w.所求的面积为A ? ?02a?tt2a 2aydx ? ?0 a(1? cos t)a(1? cos t)dt ? a 2 ?0 (1? cos t)2 dtww? a 2 ?0 (1? 2 cos t ? 1? cos t )dt ? 3a 2? ? 22a7? 求对数螺线??ae?(??????)及射线 ??? 所围成的图形面积? 解天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。lear6? 求由摆线 x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱(0?t?2?)与横轴?所围成的图形的面积? 解?n.2? 2? A ? ?0 1 [2a(2 ? cos? )]2 d? ? 2a 2 ?0 (4 ? 4 cos? ? cos2 ? )d? ?18?a 2 ? 2net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。所求的面积为2 ? ? A ? 1 ??? (ae? )2 d? ? 1 a 2 ??? e2? d? ? a (e2? ? e? 2? ) ? 2 2 48? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积? (1)??3cos? 及??1?cos?? 解(2) ? ? 2 sin? 及 ? 2 ? cos 2? ?解ww曲线 ? ? 2 sin? 与 ? 2 ? cos 2? 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , ? ) ? 所求的面积为 2 6? ? A ? 2[ 1 ?06 ( 2 sin? )2 d? ? 1 ??4 cos 2?d? ] ? ? ? 1? 3 ? 2 2 6 6 2天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttlearn.? ? A ? 2[ 1 ?03 (1? cos? )2 d? ? 1 ??2 (3 cos? )2 d? ] ? 5 ? ? 2 2 3 4ne曲线??3cos? 与??1?cos??交点的极坐标为 A( 3 , ? ) ? B( 3 ,? ? ) ? 由对称性? 所求的面积为 2 3 2 3t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。9? 求位于曲线 y=ex 下方??该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上 方之间的图形的面积? 解 设直线 y?kx 与曲线 y?ex 相切于 A(x0? y0)点? 则有? y0 ? kx0 ? x ? ? y0 ? e 0 x ? ? y?( x0 ) ? e 0 ? k求得 x0?1? y0?e? k?e ?? (e y ? ln y)dy ? 2e y0e112e 0? yln y 0 ? ? y ? 1 dy ? e ? 0 y 2e e10? 求由抛物线 y2?4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值? 解 设弦的倾角为 ?? 由图可以看出? 抛物线与积的最小值为11? 把抛物线 y2?4ax 及直线 x?x0(x0?0)所围成的图形绕 x 轴旋转? 计算ww因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面A0 ? 2?天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.显然当 ? ? ? 时? A1?0? 当 ? ? ? 时? A1?0? 2 2a0ttA ? A0 ? A1 ?a 2axdx ? 8 a x3 ? 8 a2 ? 0 3 3le过焦点的弦所围成的图形的面积为arn.net所求面积为此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。所得旋转体的体积? 解 所得旋转体的体积为2 V ? ? ?y 2dx ? ? ? 4axdx ? 2a? x2 00 ? 2a?x0 ? x 0 0 x0 x012? 由 y?x3? x?2? y?0 所围成的图形? 分别绕 x 轴及 y 轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?0ww的体积?解 由对称性? 所求旋转体的体积为w.13? 把星形线 x2/ 3 ? y 2 / 3 ? a 2/ 3 所围成的图形? 绕 x 轴旋转? 计算所得旋转体tta 2 0? 32? ? 3? 3 y5 ? 64 ? ? 0 5 58V ? 2? ?y 2dx ? 2? ? (a 3 ? x 3 )3dx0a天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。le2Vy ? 22 ?? ?8 ? ? ?x2dy ? 32? ? ? ? y 3 dy08ar8 2绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为n.Vx ? ? ?y 2dx ? ? ?x6dx ? 1 ? x7 0 ? 128? ? 0 0 7 72 2 2ne解 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。4 2 2 4 a ? 2? ? (a2 ? 3a 3 x 3 ? 3a 3 x 3 ? x2 )dx ? 32 ?a3 ? 0 10514? 用积分方法证明图中球缺的体积为 V ? ?H 2 (R ? H ) ? 3 证明V ??RR? H?x2 ( y)dy ?? ?RRR?H(R2 ? y 2 )dy? ? (R2 y ? 1 y3) R ? H ? ?H 2 (R ? H ) ? 3 315? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋tta(2) y ? ach x ? x?0? x?a? y?0? 绕 x 轴? aw.解 V ? ? ?y 2 ( x)dx ? ? ? a2ch 2 x dx 0 0 aale1 1 1 解 V ?? ? ydy ?? ? ( y 2 )2 dy ?? ( 1 y 2 ? 1 y 5 ) 0 ? 3 ? ? 0 0 2 5 10ar令x ? au(1) y ? x2 ? x ? y 2 ? 绕 y 轴?ww? ?a 43 1?a3 ( 1 e2u ? 2u ? 1 e?2u ) 1 ? 2u 2u ( e ? 2 ? e ) du ? ?0 0 4 2 2? ?a (2 ? sh2) ? 43(3) x2 ? ( y ? 5)2 ?16 ? 绕 x 轴?天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。n.?a3 ? ch 2udu0 1转体的体积?net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 V ? ? ? (5 ? 16 ? x2 )2 dx ? ? ? (5 ? 16 ? x2 )2 dx?4 ?444? 40? 16 ? x 2 dx ?160? 2 ?04(4)摆线 x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? y?0? 绕直线 y?2a? 解 V ? ? ?0 (2a)2 dx ?? ?0 (2a ? y)2 dx? 8a3? 2 ?? ?0 [2a ? a(1? cos t)]2 da(t ? sin t) ? 8a3? 2 ? a3? ?0 (1? cos t) sin 2 tdt ? 7a3? 2 ?2? 2? 2a? 2a?所成旋转体的体积?a a?a ?a解 V ?? ? (b ? a2 ? y 2 )2 dy ? ? ? (b ? a2 ? y 2 )2 dy? 8b? ?0a 2 ? y 2 dy ? 2a 2b? 2 ?截锥体的体积?解 建立坐标系如图? 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得 其长短半轴分别为wwA? A? a y ? B ? B ?b y ? h h天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.tt椭圆? 椭圆的轴长分别为 2a、2b 和 2A、2B? 求这le17? 设有一截锥体? 其高为 h? 上、下底均为aran.ne16? 求圆盘 x2 ? y 2 ? a2 绕 x??b(b&a&0)旋转t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。截面的面积为 ( A ? A ? a y) ? (B ? B ? b y)? ? h h 于是截锥体的体积为h V ? ? ( A ? A ? a y) ? (B ? B ? b y)?dy ? 1 ?h[2(ab ? AB) ? aB ? bA] ? 0 h h 618? 计算底面是半径为 R 的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的 所有截面都是等边三角形的立体体积? 解 设过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积为 A(x)?的面积? 其值为A( x) ? 3(R 2 ? x 2 ) ?所以V ??R?R3(R 2 ? x 2 )dx ? 4 3 R3 ? 319? 证明 由平面图形 0?a?x?b? 0?y?f(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体 的体积为旋转所得的旋转体的体积近似为 2?x?f(x)dx? 这 就是体积元素? 即 dV?2?x?f(x)dx? 于是平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为ww证明 如图? 在 x 处取一宽为 dx 的小曲边梯形? 小曲边梯形绕 y 轴天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.V ? 2? ? xf ( x)dx ?attblearn.ne由已知条件知? 它是边长为 R 2 ? x 的等边三角形t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。V ? ? 2?xf ( x)dx ? 2? ? xf ( x)dx ?a abb20? 利用题 19 和结论? 计算曲线 y?sin x(0?x??)和 x 轴所围成的图 形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积? 解 V ? 2? ? x sin xdx ? ?2? ? xd cos x ? 2? (? x cos x ? sin x) 0 ? 2? 2 ?0 0???21? 计算曲线 y?ln x 上相应于 3 ? x ? 8 的一段弧的长度? 解 s??8 31? y?2 ( x)dx ? ?8 32 8 1? ( 1 )2 dx ? ? 1? x dx ? 3 x xs??3t t 2 ?12?3 t2 3 3 1 1 ln 3 ? dt ? dt ? dt ? dt ? ? 1 2 2 ? ? ? 2 t ?1 2 2 t ?1 2 2 t 2 ?1t1?x?3 的一段弧的长度?的长度?ww所求弧长为3 3 s ? 1 ? ( x ? 1 )dx ? 1 ( 2 x x ? 2 x ) 1 ? 2 3 ? 4 ? 21 2 3 3 x23? 计算半立方抛物线 y 2 ? 2 ( x ?1)3 被抛物线 y 2 ? x 截得的一段弧 3 3天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.y?2 ? 1 ? 1 ? 1 x ? 4x 2 4tt解 y ? x ? 1 x x ? y? ? 1 ? 1 x ? 3 2 x 2le1? y?2 ? 1 ( x ? 1 ) ? 2 xar22? 计 算 曲 线 y ? x (3 ? x) 上 相 应 于 3n.net令 1? x 2 ? t ? 即 x ? t 2 ?1 ? 则此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。? y 2 ? 2 ( x ?1)3 ? 3 解 由? 得两曲线的交点的坐标为 (2, 6 ) ? (2, ? 6 ) ? x 3 3 ? y2 ? 3 ?所求弧长为 s ? 2? 1? y?2 dx ?1 2因为( x ?1)2 ( x ?1)4 ( x ?1)4 3 2 yy? ? 2( x ?1)2 ? y? ? ? y?2 ? ? ? ( x ?1) ? 2 ( x ?1)3 2 y2 y 3s ? 2?213 2 3 2 8 5 1? ( x ?1)dx ? 3x ?1d (3x ?1) ? [( ) 2 ?1] ? 2 9 2 3 2 ?124? 计算抛物线 y2?2px 从顶点到这曲线上的一点 M(x? y)的弧长?解 s??y01? x?2 ( y)dy ??y0ww25? 计算星形线 x ? a cos3 t ? y ? a sin 3 t 的全长?解 用参数方程的弧长公式?s ? 4? 2 x?2 (t) ? y?2 (t)dt0天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.y p y ? p2 ? y2 2 2 ? ? p ? y ? ln 2p 2 p?tty y 2 2 p2 1 ? [ p ? y ? ln( y ? p2 ? y 2 )] 0 p 2 2leary y 1? ( )2 dy ? 1 ? p 2 ? y 2 dy p p 0n.net所以此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。? 4? 2 [3a cos2 t ? (?sin t)]2 ? [3a sin 2 t ? cost]2 dt0??12? 2 sin t cos tdt ? 6a ?0?26? 将绕在圆(半径为 a)上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为x ? a(cost ? t sin t) ? y ? a(sin t ? t cost) ?计算这曲线上相应于 t 从 0 变到?的一段弧的解 由参数方程弧长公式s??0[ x?(t)]2 ? [ y?(t)]2 dt ? ? ? a? tdt ? a ? 2 ? 0 2?0(at cost)2 ? (at sin t)2 dt27? 在摆线 x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)上求分摆线第一拱成 1? 3 的点ww解 设 t 从 0 变化到 t0 时摆线第一拱上对应的弧长为 s(t0)? 则w.的坐标?s(t0 ) ? ?t0tt0[ x?(t)]2 ? [ y?(t)]2 dt ? ?let00t0 t ? 2a? sin t dt ? 4a(1? cos 0 ) ? 0 2 2当 t0?2?时? 得第一拱弧长 s(2?)?8a? 为求分摆线第一拱为 1? 3 的天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。ar??n.[a(1? cost)]2 ? [a sin t]2 dtne长度?t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。点为 A(x? y)? 令t 4a(1? cos 0 ) ? 2a ? 2解得 t0 ? 2? ? 因而分点的坐标为? 3 横坐标 x ? a( 2? ? sin 2? ) ? ( 2? ? 3 )a ? 3 2 3 3 纵坐标 y ? a(1? cos 2? ) ? 3 a ? 3 2ww解 按极坐标公式可得所求的弧长w.29? 求曲线???1 相应于自? ? 3 至? ? 4 的一段弧长? 4 3s??4 3 3 44 3 3 4tt2 2???02 1? a 2 ea? d? ? 1? a (ea? ?1) ? a? (? ) ? ? ? (? )d? ? ?le4 3 3 4s???0? 2 (? ) ? ? ?2 (? )d? ? ?? ? 12 1?? 2 d? ? 5 ? ln 3 ? ? 12 230? 求心形线??a(1?cos ???的全长???天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。ar?0解 用极坐标的弧长公式?(ea? )2 ? (aea? )2 d?n.? ?28? 求对数螺线 ? ? ea? 相应于自??0 到???的一段弧长???( 1 )2 ? (? 12 )2 d?ne故所求分点的坐标为 (( 2? ? 3 )a, 3 a) ? 2 3 2t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 用极坐标的弧长公式?s ? 2??0? 2(? ) ? ? ?2 (? )d? ? 2??0a2 (1? cos? )2 ? (?a sin? )2 d?? 4a? cos ? d? ? 8a ? 0 2?ww天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttlearn.net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。习题 6?3 1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力 F(单位? N)与伸 长量 s(单位? cm)成正比? 即 F?ks (k 为比例常数)? 如果把弹簧由原长 拉伸 6cm? 计算所作的功? 解 将弹簧一端固定于 A? 另一端在自由长度时的点 O 为坐标原 点? 建立坐标系? 功元素为 dW?ksds? 所求功为2? 直径为 20cm、 高 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2 的蒸PV ? k ?10 ? (?102 ?80) ? 80000? ?设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小 x 厘米时压强 为 P(x)牛/厘米 2? 则所求功为ww功元素为 dW ? (? ?102)P(x)dx ?40 40 1 dx ? 800? ln 2 (J)? W ? ? (? ?102 ) ? 800 dx ? 80000? ? 0 0 80 ? ? 80 ??3? (1)证明? 把质量为 m 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.P(x) ?[(?102)(80 ? x)] ? 80000? ? P(x) ? 800 ? 80 ??ttlear解 由玻?马定律知?n.汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？netW ? ? ksds ? 1 k s2 0 ?18 k(牛?厘米)? 0 26 6此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。是W?mgRh ? R?h其中 g 是地面上的重力加速度? R 是地球的半径? (2)一颗人造地球卫星的质量为 173kg? 在高于地面 630km 处进 入轨道? 问把这颗卫星从地面送到 630 的高空处? 克服地球引力要 作多少功？已知 g?9?8m/s2? 地球半径 R?6370km?元素为所求的功为R?1024 ? 630?103 ? 9.75?105 (kJ)? (2) W ? 6.67 ?10?11 ? 173? 5.98 0 ? 630) ?1034? 一物体按规律 x ? ct3 作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方 成正比? 计算物体由 x?0 移至 x?a 时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为 x ? ct3 ? 所以www.ttle2W ??R?hkMm dy ? k ? mMh ? y2 R(R ? h)v ? x?(t) ? 3cx2 ? 阻力 f ? ?kv2 ? ?9kc2t 4 ? 而 t ? ( x ) 3 ? 所以 c天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。arn.dW ? kMm dy ? y2net证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为 m 的物体升高的功此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。f ( x) ? ?9kc2 ( x ) 3 ? ?9kc 3 x 3 ? c功元素 dW??f(x)dx? 所求之功为424W ? ? [? f ( x)]dx ? ? 9kc 3 x 3 dx ? 9kc 3 ? x 3 dx ? 27 kc 3 a 3 ? 0 0 0 7a a242 a4275? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板 1cm? 如果铁锤 每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？铁钉击入木板的深度 x(cm)成正比? 即 f?kx? 功元素 dW?f dx?kxdx? 击第一次作功为W1 ? ? kxdx ? 1 k ? 0 21击第二次作功为1? hW2 ? ? kxdx ? 1 k (h2 ? 2h) ? 1 2因为 W1 ?W2 ? 所以有解得 h ? 2 ?1 (cm)?吸尽? 问要作多少功？ww1 k ? 1 k (h2 ? 2h) ? 2 26? 设一锥形贮水池? 深 15m? 口径 20m? 盛满水? 今以唧筒将水天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttlearn.ne解 设锤击第二次时铁钉又击入 hcm? 因木板对铁钉的阻力 f 与t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 在水深 x 处? 水平截面半径为 r ?10 ? 2 x ? 功元素为 3dW ? x ??r 2dx ??x(10 ? 2 x)2 dx ? 3所求功为W ? ? ?x(10 ? 2 x)2 dx 0 315?? ? (100x ? 40x2 ? 4 x3)dx 0 9157? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶 2m? 求闸门上所受的水压力?解 建立 x 轴? 方向向下? 原点在水面?闸门上所受的水压力为5 2P ? 2? xdx ? x2 2 ? 21 (吨)=205? 8(kN)?5水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?ww8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttdP ?1? x ? 2dx ? 2xdx ?le水压力元素为arn.ne?1875(吨米)?57785.7(kJ)?t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 建立坐标系如图? 则椭圆的方程为( x ? 3 )2 y 2 4 ? ?1 ? 3 12 ( )2 4压力元素为dP ?1? x ? 2 y( x)dx ? x ? 8 ( 3)2 ? ( x ? 3)2 dx ? 3 4 4所求压力为解 建立坐标系如图? 直线 AB 的方程为所求压力为wwy ?5? 1 x ? 10压力元素为dP ?1? x ? 2 y(x)dx ? x ? (10 ? 1 x)dx ? 5天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.tt较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?le9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长 10m 和 6m? 高为 20m?ar(提示? 积分中所作的变换为 x ? 3 ? 3 sin t ) 4 4n.? 9 ? 2 cos2 tdx ? 9 ? (吨)?17.3(kN)? 4 0 16?neP??0t3 2x ? 8 ( 3 )2 ? ( x ? 3 )2 dx ? 8 ? 2? 3 (1? sin t) ? 3 cos t ? 3 cos tdx 4 4 3 ?2 4 4 3 4?此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。P ? ? x ?(10 ? 1 x)dx ? 1467 (吨)?14388(千牛)? 0 52010? 一底为 8cm、高为 6cm 的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水面平行? 而顶离水面 3cm? 试求它每面所 受的压力? 解 建立坐标系如图? 腰 AC 的方程为 y ? 2 x ? 压力元素为 3的引力?解 建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段 dy? 引力元素为dF 在 x 轴方向和 y 轴方向上的分力分别为wwdF ? G ?y dFx ? ? a dF ? dFy ? dF ? r r天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.tt垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M? 试求这细棒对质点 Mm?dy Gm? dy ? ? a2 ? y 2 a2 ? y 2le11? 设有一长度为 l、线密度为 ? 的均匀细直棒? 在与棒的一端ar6 6 P ? ? 4 x( x ? 3)dx ? 4 (1 x3 ? 3 x 2 ) 0 ?168 (克)?????(牛)? 0 3 2 3 3n.所求压力为nedP ? ( x ? 3) ? 2 ? 2 x ? dx ? 4 x(x ? 3)dx ? 3 3t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。l l Gm? Gm?l Fx ? ? (? a ? 2 2 )dy ? ?aGm? ? 2 2 1 2 2 dy ? ? ? 0 0 (a ? y ) a ? y r a ?y a a2 ? l 2 l y Gm? l 1 )? Fy ? ? ? 2 2 dy ? Gm? ? 2 2 1 2 2 dy ? Gm? ( 1 ? 2 0r a ?y 0 (a ? y ) a ? y a a ? l212? 设有一半径为 R、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一质量为 m 的质点 F? 试求这细棒对质点 M 的 引力? 解 根据对称性? Fy?0??Fx ? ? 2?Gm? cos? d? ? R 2?ww天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.引力的大小为tt2Gm? 2 2Gm? ? ? ? ? d ? cos sin ? R ?0 R 2 2Gm? ? sin ? 方向自 M 点起指向圆弧中点? R 2lear?n.Gm? (Rd? ) Gm? ? cos? ? cos?d? ? 2 R RnedFx ?G ? m ? ?ds ? cos? R2t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。总 习 题 六 1? 一金属棒长 3m? 离棒左端 xm 处的线密度为 ? ( x) ? (kg/m)? 问 x 为何值时? [0? x]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足 ? 因为 ? 所以x x 01 x ?11 dt ? 1 3 1 dt ? 2 ?0 t ?1 t ?101 dt ?[2 t ?1]x ? 2 x ?1 ? 2 ? 1 3 1 dt ? 1 [2 t ?1]3 ?1 ? 0 0 2 ?0 t ?1 2 t ?1的面积? 解3?S ? 1 ?? ( a )2 ? 1 ?? 4 a2 (cos? ? sin? )2 d? 2 2 2 22 2 ? ?a ? a试确定 a、b、c 的值? 使得抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与直线 x?1? y?0 所围 图形的面积为 4 ? 9 且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小?ww3? 设抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点(0? 0)? 且当 x?[0? 1]时? y?0?天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.8tt2 ??3? 4 2(1? sin 2? )d? ? ? ?1 a2 ? 4lear2? 求由曲线 ??asin????a(cos??sin?)(a&0)所围图形公共部分n.x ? 5 (m)? 4ne2 x ?1 ? 2 ?1 ?t此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。解 因为抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点(0? 0)? 所以 c?0? 从而y ? ax2 ? bx ?抛物线 y ? ax2 ? bx 与直线 x?1? y?0 所围图形的面积为S ? ? (ax2 ? bx)dx ? a ? b ? 0 3 21令 a ? b ? 4 ? 得 b ? 8 ? 6a ? 3 2 9 92 2 1 V ? ? ? (ax2 ? bx)2 dx ? ? ( a ? b ? ab ) 0 5 3 2 2 ? ? [ a ? 1 (8 ? 6a )2 ? a (8 ? 6a )] ? 5 3 9 2 9旋转体的体积?解 所求旋转体的体积为wwV ? 2? ? x ? x 2 dx ? 2? ? 2 x 2 0 ? 512 ? ? 0 7 74 3 7 45? 求圆盘 ( x ? 2)2 ? y 2 ?1 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积? 解 V ? 2 ? 2? ? x ? 1? ( x ? 2)2 dx1 3天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.tt4? 求由曲线 y ? x 2 与直线 x?4? x 轴所围图形绕 y 轴旋转而成的3le令 dV ? ? [ ?a ? 12 ? 6a ? 8 ? 1 (8 ?12a)] ? 0 ? 得 a ? ? 5 ? 于是 b?2? d 5 3 81 18 3arn.net该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。令x ? 2 ? sin t 4?? ? (2 ? sin t)cos tdt ? 4?2 2?2??26? 抛物线 y ? 1 x 2 被圆 x2 ? y 2 ? 3 所需截 2 下的有限部分的弧长?2 2 ? ?x ? y ? 3 解 由 ? 1 2 解得抛物线与圆的两个交点为 (? 2, 1) ? ( 2, 1) ? y? x ? ? 2于是所求的弧长为0? 6 ? ln( 2 ? 3) ?从水中取出? 需作多少功?解 建立坐标系如图 ? 将球从水中取 出时? 球的各点上升的高度均为 2r? 在 x 处取一厚度为 dx 的薄片? 在 将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为 r?x? 在水上上 升的高度为 r?x? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的 功为ww天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.tt与水面相切 ? 球的比重与水相同 ? 现将球le7? 半径为 r 的球沉入水中? 球的上部arn.s ? 2?22 1? x2 dx ? 2[ x 1? x2 ? 1 ln(x ? 1? x2 )] 0 2 2net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。dW ? g? (r ? x)(r 2 ? x2 )dx ?对球所做的功为W ? g? ? (r ? x)(r 2 ? x2 )d x ? 4 ?r 2 g ? ?r 3r8? 边长为 a 和 b 的矩形薄板? 与液面成?? 角斜沉于液体内? 长边平行于液面而位于深 h 处? 设 a&b? 液体的比 重为?? 试求薄板每面所受的压力?解 在水面上建立 x 轴? 使长边与 x 轴在同一垂面上? 长边的上 端点与原点对应? 长边在 x 轴上的投影区间为[0? bcos?]? 在 x 处 x 轴 到薄板的距离为 h?xtan?? 压力元素为薄板各面所受到的压力为等于该点到原点距离的立方? 在原点 O 处有一单位质点? 求星形线wwP?9? 设星形线 x ? a cos3 t ? y ? a sin 3 t 上每一点处的线密度的大小天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.?ga dP ? ?g ? (h ? x tan? ) ? a ? dx ? (h ? x tan? )dx ? cos? cos??ga bcos? (h ? x tan? )dx ? 1 ?gab(2h ? bsin? ) ? ? 2 cos? 0ttlearn.net此文档由天天learn（http://www.ttlearn.net）为您收集整理。在第一象限的弧段对这质点的引力? 解 取弧微分 ds 为质点? 则其质量为( x2 ? y 2 )3ds ? ( x2 ? y 2 )3 ds ?其中 ds ? [(a cos3 t)?]2 ? [(a sin 3 t)?]2 dt ? 3a sin t costdt ? 设所求的引力在 x 轴、y 轴上的投影分别为 Fx、Fy? 则有Fx ? ? 2 G ?0?? 1? ( x2 ? y 2 )3 x 2 2 ? ds ? 3 Ga cos4 t sin tdt ? 3 Ga2 ? 2 2 ? 2 2 0 (x ? y ) 5 x ?y ? 1? ( x2 ? y 2 )3 y 2 2 ? ds ? 3 Ga cost sin 4 tdt ? 3 Ga2 ? 2 2 ? 2 2 0 (x ? y ) 5 x ?y0ww天天learn（http://www.ttlearn.net）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。w.ttlearn.所以 F ? ( 3 Ga2, 3 Ga2 ) ? 5 5neFx ? ? 2 G ??t
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