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龙校寒假班五年级数学第四讲课堂内容总结
15:22 来源：
作者：育博远教研室
今天我们继续昨天的概率学习，在昨天所学的古典概型的基础上又介绍了一种概率模型&&几何概型，几何概型主要帮助我们解决所有等可能的结果数是无限的概率问题。另外，今日还学习了许多有关概率的专业名词，比较繁琐，所以孩子们要及时复习巩固哦！下面为大家列出今日的主要知识点：1.几何概型：无穷多个等可能结果用几何图形代表，由几何图形的度量（长度、面积、体积、角度）计算概率
2.不可能事件的概率为零，反之不成立；必然事件的概率为1，反之不成立。
3.互斥事件：不能同时发生的事件对立事件：两个互斥事件必有一个发生独立事件：一个事件的发生不会使得另一个事件的发生变得更容易或是更简单注意：有时直观上看两个事件是否独立，可能会出现错误。所以，要判断两个事件是否独立，可以用性质6来判断，用数据说话！
4.字母表示：A&B或者AB表示&事件A和事件B同时发生&A&B表示：&事件A和事件B至少有一个发生&X上一横杠表示：事件X的对立事件
5.性质：要会用讲义上的性质1、2、3、5、6
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为什么概率为0的事件不一定是不可能事件
提问者采纳
因为这个事件在事件域内。总之，则还要具体分析既然0概率事件都是有可能发生的，但该点的概率密度积分仍为0，单个具体点的概率密度值为一有界常数对于连续性随机变量，只是算作，所以概率为1的事件也不一定必然发生，比如从盆中取一滴水。但若事件是无限的，对于连续性随机变量,但0概率事件可能发生，它们各自的分布描述是不同的，这个随机变量落在一个区间内的概率。这就是一个0概率事件可能发生的例子。比如在宇宙中抽一个人，我们讨论的是，所以概率为零。对于连续性随机变量，只不过我们平时在处理问题的时候，某滴水被取到的概率为1&#47，概率为1的事件必然发生，如果它的事件域是有限个事件。同理！随机变量分连续和离散两种，这个值可以是任意的（包括0和1），把概率趋近于零的事件算作0概率事件。对于离散随机变量，但这个事件仍然是可能发生的。概率论里说了不可能事件的发生概率是0，抽到你的概率，即该点所对应的事件发生的概率为0，讨论单个点的概率是没有意义的（都为0），但因为点是没有长度的，概率为0的事件并不一定不会发生，某个点的概率密度值为1，所以该点的概率密度积分为 0（因为该点概率密度值有界），那么概率趋近于零的事件果然有可能发生。也就是说;n，则可以认为概率为0的事件一定不会发生，n趋于无穷大，不是绝对的是
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出门在外也不愁事件A的概率为0,和事件A是不可能事件有什么区别?
攻°岑T6濵
概率为0的事件,不一定就是不可能事件举个例子：在实数区间[0,1]取得实数“ 1 ”的概率就为0（因为概率=1/∞=0）但是这是可能发生的事件当然了,不可能事件的概率的确是0,这是无可否认的有不懂欢迎追问
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结论：必然发生事件发生概率为1，不可能事件发生概率为0。反之不成立。本文将从现实的一些误解中说明这个问题。0不仅仅代表“没有”，也代表无穷小。在小学学习数字的时候，老师对“0”往往是这么解释的：“0”代表没有，代表无。当我们引入“极限”的概念后，我们也说，此时我们对“0”有了新的认识：它不完全代表没有，还代表无穷小。为了理解无穷小的概念，我们举这么一个例子。我给你一把尺子，让你测量一个点和一条线段的长度。线段的长度你可以轻而易举测出来，但点的长度你却没法测量。你可能会这样说：我先看到这个点的长度小于1厘米，然后拿放大镜观察，发现长度小于0.5厘米，再拿放大镜，小于0.25厘米，再拿放大镜……如此反复，你最后的结果会越来越接近于0，但你知道长度又不会小于0.所以你说，这个点的长度为0.难道点不存在吗？并非如此！你得出0的根本原因不是它不存在，而是长度这种测量单位对于一个点来说实在太大，点与线段相比实在太小，可以忽略。所以，在一条长度一定的线段中随机取到一个固定的点的概率为0，在面积有限的平面中随机取到一条固定线段的概率为0，在体积有限的三维世界中取到一个固定平面的概率也是0.但为什么我们很难在现实生活中理解“概率为0的时间依旧可能发生”？这就引入到第二个误解。我们容易将连续的东西理解成离散的。举个例子，当我问你体重多少时，你会回答我：“大约是63公斤”，而不是63.1415926……=(60+π)公斤当我问你年龄多少时，你会回答我：“22岁”，而不是22.7182818……=(20+e)岁我们将本来分布在数轴（线段或直线）上一点的问题转化为，在一堆点中选点的问题。我们将用于测量的单位从长度变为了个，于是，无穷小也就不存在了。当我们将无穷小从0的意义中剥离时，0只剩下了“没有”的意义。于是，我们没法理解“没有”的事情如何能发生。当我们真正用非离散的角度看问题时，我们就能够理解0概率事件也有可能发生了。从一条线段中随机选中一个特定的点，这事可能发生，但概率为0.预测下一根生长出来的头发的头皮坐标，这事可能发生，但概率为0.进一步，当我们用另一种“尺子”衡量的时候，我们能知道：从0到1中随便选个点，这个点是有理数这事可能发生，但概率为0.理论上证明一下难以说清楚，但是你可以从我所说的结论直观地感觉到：“有理数的数目远远小于无理数。”更新：1.抱歉，本文将线段误写为直线，感谢各位知友指出。已修改，多谢。2.评论中有人关于我说的“0是无穷小”提出反对意见。本人不才，对于这个问题没有深刻理解，故暂时将“是”改为“代表”。若有对此部分感兴趣者，请移步，或在评论中发表看法，我将持续跟进这个问题并及时修改答案。===========================1.15更新分割线==============================1.关于0和“无穷小”的问题：我想表达的意思是：“当我们说概率为0时，它既可以表示事件不存在，也可以表示事件存在，但相比总体无穷小。”关于0和无穷小的问题，我并非从严格数学上来理解，而是从概率上来理解。所以我说，如果对这个问题，在数学方面有兴趣，欢迎移步讨论。我也会持续跟进这个问题。2.关于有理数和无理数多少的问题：如果你对这个问题感兴趣，欢迎你去看看集合论、测度论或实变函数入门的书籍。3.关于更新答案：我想和所有知友们一起改善我写的答案。本人不才，我并不能保证我的答案完全正确，但我期待所有有内容，有建设性，有理有据的反对的声音。若您只是反对而没有说出任何原因及改善方案，请恕我无视。
两个问题是等价的，所以这里只讨论第一个问题：概率为0的事件，必然不能发生吗？&br&回答这个问题，需要先明确是什么概率模型。但是无论如何，&b&零概率事件&/b&和&b&不可能事件&/b&从概念上讲，是两个不同的概念。&br&如果是古典概型，因为样本空间是有限的，所以零概率事件和不可能事件恰好重合。&br&如果是几何概型，零概率事件就不一定是不可能事件。具体例子，@杜伟煌@王智@郑小能@Tomhall
的答案里都有。&br&以上是结论，至于详细解说和分析，如果要认真做的话，就变成照抄教科书了（这个问题一是基本概念问题），所以请参考维基百科 “概率” 词条（现在我打不开这个词条，翻墙也翻不了，所以也不知道这个词条有多少帮助）。&br&&br&我还是至少交代一下，一个涉及到的主要概念是&b&概率测度&/b&，比如在@杜伟煌的答案中，样本空间的测度是正方形的面积（&0），对角线的测度是0，概率 “被定义为” 等于后者与前者之比，也就是0。
两个问题是等价的，所以这里只讨论第一个问题：概率为0的事件，必然不能发生吗？回答这个问题，需要先明确是什么概率模型。但是无论如何，零概率事件和不可能事件从概念上讲，是两个不同的概念。如果是古典概型，因为样本空间是有限的，所以零概率事件和不…
我们说概率首先需要&b&样本空间&/b&&img src=&///equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，直观上就是所有可能的结果。&br&数学上来说，样本空间是一个&b&概率空间&/b&&img src=&///equation?tex=%5COmega%3D%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BB%7D%2C%5Cmathbf%7BP%7D%29& alt=&\Omega=(\Omega,\mathcal{B},\mathbf{P})& eeimg=&1&&——集合&img src=&///equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的子集构成的&b&&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&-代数&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&(其中的元素叫做&b&事件)&/b&，以及定义在&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&\mathcal{B}& eeimg=&1&&上&b&概率测度&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D& alt=&\mathbf{P}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D& alt=&\mathbf{P}& eeimg=&1&&应该满足下面性质&br&&ol&&li&对于每个事件&img src=&///equation?tex=E%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&E\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=0%5Cleq%5Cmathbf%7BP%7D%28E%29%5Cleq1& alt=&0\leq\mathbf{P}(E)\leq1& eeimg=&1&&&/li&&li&对于全空间，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D%28%5COmega%29%3D1& alt=&\mathbf{P}(\Omega)=1& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&对于事件&img src=&///equation?tex=E_1%2CE_2%2C%5Ccdots%5Cin%5Cmathcal%7BB%7D& alt=&E_1,E_2,\cdots\in\mathcal{B}& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=E_i%5Cwedge+E_j%3D%5Cemptyset& alt=&E_i\wedge E_j=\emptyset& eeimg=&1&&，如果&img src=&///equation?tex=i%5Cneq+j& alt=&i\neq j& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D%28%5Cbigvee+_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cmathbf%7BP%7D%28E_n%29& alt=&\mathbf{P}(\bigvee _{n=1}^{\infty}E_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ol&一般地，&b&必然事件&/b&(sure event)&img src=&///equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&可以表示为&img src=&///equation?tex=%5Coverline%7B%5Cemptyset%7D& alt=&\overline{\emptyset}& eeimg=&1&&，而不必提及样本空间，&br&&ul&&li&一个事件&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&说是&b&必然发&/b&生(hold surely)如果它等于必然事件&img src=&///equation?tex=%5Coverline%7B%5Cemptyset%7D& alt=&\overline{\emptyset}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&一个事件&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&说是&b&几乎必然发生&/b&(hold almost surely)如果它发生的概率是&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&:&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D%28E%29%3D1& alt=&\mathbf{P}(E)=1& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&当然，我们有&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D%28%7B%5Coverline%7B%5Cemptyset%7D%7D%29%3D1& alt=&\mathbf{P}({\overline{\emptyset}})=1& eeimg=&1&&，必然发生的事件一定是几乎必然发生的事件，概率为&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&的事件是几乎必然发生，当不必是必然事件&img src=&///equation?tex=%5Coverline%7B%5Cemptyset%7D& alt=&\overline{\emptyset}& eeimg=&1&&，这很好理解，因为一个集合去掉概率为&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&为子集后(&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BP%7D%28E%29%3D0& alt=&\mathbf{P}(E)=0& eeimg=&1&&)，概率保持不变。同理，概率为&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&的事件是几乎不可能发生，但不必是不可能事件&img src=&///equation?tex=%5Cemptyset& alt=&\emptyset& eeimg=&1&&
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