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初中数学审核员
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校：本溪香梅学校
备课人：张丽娜
级：八（1）（2）
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八年级数学上册教学计划
一、学情分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，在我们班上，两极分化问题很是严重，对优等生来说他
们能够理解知识形成技能具备一定的数学能力，而对后进生来说简单的基础知识还不能够掌握成绩
不容乐观。为使学生学好进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生
运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新
意识，作为教师，我将实行因材施教策略。
二、教材内容分析
　　本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，
第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》,
第七章《二元一次方
程组》，第八章《数据的代表》。
第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。
第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的内容虽
然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。。
　　第三章《图形的平移与旋转》主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。
　　第四章《四边形性质探索》的主要内容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、
矩形、菱形、正方形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线。
　　第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。
　　第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一
次函数解决一些实际问题。
　　第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的
第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及
三、教学目标要求
上半学期完成第一章到第四章第四节，下半学期完成第四章第五节到本册教材结束。掌握平方
根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、勾股定理、四边形性质等知识并形成相应数学技能。
在情感与价值观上认识图形中的数量关系，培养学生的实事求是认真严肃的学习态度，在民主和谐
合作的学习过程中养成独立探究勤与思考大胆创新，发展学生的非智力因素提高学生的数学素质与
具体教学目标如下：
正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。
掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。掌握二次根式
简，进一步提高学生的运算能力。
3. 理解四边形及有关概念，掌握几种特殊四边形的性质定理及判定。
4. 理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问
四、教材的重点和难点
重点：勾股定理探索、四边形性质的探索、实数的概念、一次函数图象及其应用、二元一次方
程组及其应用。
难点：勾股定理探索、四边形性质的掌握一次函数图象及其应用的数形结合技能、二元一次方
程组及其应用能力培养。
五、本学期提高教学质量的主要措施：
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1、认真做好教学工作。把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，
根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生
学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相
应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参加知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探索、交流、分享发现快乐的
高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写小论文，写复习提纲，使知识来
源于学生的创造。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高
学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种
思如泉涌的状态。
5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带
来不同的教育效果。
6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发
展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7、开展分层教学，布置作业设置
三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上
的提问照顾好好、中、差三类学生，让每个学生尽可能获得最大发展。
六、教学进度安排
教学进度表
教材内容及备注
1.1 探索勾股定理（2）
1.2 能得到直角三角形（1）
1.3 蚂蚁怎样爬最近（1）
回顾与思考（1）
第一章测试讲解（1）
2.1 数怎么不够用了（2）
2.2 平方根（2）
2.3 立方根（1）
2.4 公园有多宽（1）
2.5 用计算机开方（1）
2.7 回顾与思考（1）
3.1 生活中的平移（0.5）
3.2 简单的平移作图（0.5）
3.3 生活中的旋转（0.5）
3.4 简单的旋转作图（0.5）
3.5 它们是怎样变过来的（0.5）
3.6 简单的图案设计（0.5）
复习与第三章测试（2）
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前三章小复习与题目讲解（1）
10.8~10.14 4.1 平形四边形的性质（2）
4.2 平形四边形的判别（2）
4.3 菱形（1）
4.4 矩形、正方形
10.15~10.21
4.6 探索多边形的内角和与外角和
4.7 中心对称图形
10.22~10.28 期中复习
10.29~11.4 期中考试及试题讲解
5.1 确定位置
5.2 平面直角坐标系
11.5~11.11
5.3 变化的“鱼”
回顾与反思（1）
11.12~11.18 6.2 一次函数的图象
6.3 一次函数的图象
6.4 确定一次函数表达式
11.19~11.25 6.5 一次函数图象的应用
回顾与思考、复习与测试
7.1 谁的包裹多
11.26~12.2 7.2 解二元一
7.3 鸡兔同笼
7.4 增收节支
7.5 里程碑上的数
7.6 二元一次方程与一次函数
8.1 平均数
12.10~12.16 8.2 中位数与众数
8.3 利用计数器求平均数
12.17~12.23 总复习
12.24~12.30 总复习
1.14~1.120 总复习
5 及期末考试
以上计划从制定之日起执行，若有不妥之处，请学校教务处给予指正，并督促执行
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探索勾股定理（一）
教学目标：
1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，
进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及
重点难点：
重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
1 （章前的图文
p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本
p5 谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股
定理方面的贡献。
2 （书中的
1—2）并回答：
1、 观察图
1-2，正方形
A 中有_______个小方格，即
A 的面积为______个单位。
B 中有_______个小方格，即
A 的面积为______个单位。
C 中有_______个小方格，即
A 的面积为______个单位。
2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：
3、 图 1—2
之间的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图
A.B,C 的关系呢？
二、做一做
P3 图 1—4）提问：
1—3 中，A,B,C
之间有什么关系？
1—4 中，A,B,C
之间有什么关系?
1—1，1—2，1—3，1|—4
中你发现什么？
学生讨论、交流形成共识后，教师总结：
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
三、议一议
1、 图 1—1、1—2、1—3、1—4
中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”
也就是说：如果直角三角形的两直角边为
a,b,斜边为
a 2 ? b 2 ? c 2
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3、 分别以
12 厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回
答斜边长为
13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：
四、想一想
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29 英寸（74
厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么
五、巩固练习
1、 错例辨析：
3 和 4，求第三边
解：由于三角形的两边为
所以它的第三边的
c 2 ? 32 ? 42 =25
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题
ABC 并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC
是直角三角形，第三边
C 也不一定是满足
a 2 ? b 2 ? c 2 ，题目中并为交待
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
探索勾股定理（二）
教学目标：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交
流的习惯。
2． 掌握勾股定理和他的简单应用
重点难点：
能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
难点：用面积证勾股定理
七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，
还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下
来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边
c 为边长的正方形，并
与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影
图 1—7）接着提问：大正方形的面
积可表示为什么？
（同学们回答有这几种可能：（1）
(a 2 ? b 2 )
（2） ab ? 4 ? c 2
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
a 2 ? b 2 = ab ? 4 ? c 2
请同学们对上面的式子进行化简，得到：
a 2 ? b 2 = c 2
这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方
4000 多米处，过
机距离这个男孩头顶
5000 米，飞机每时飞行多少千米？
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分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC
?c ? 90?, AC ? 4000 米，AB=5000
米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在
的时间里的飞行路程，即图中的
CB 的长，由于直角△ABC
AB=5000 米，AC=4000 米，这样
CB 就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 52 ? 42 ? 9(千米）
即 BC=3 千米 飞机
3 千米，那么它
1 小时飞行的距离为：
? 3 ? 540(千米 /小时）
答：飞机每个小时飞行
540 千米。
九、议一议
2（书中的图
观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足
a 2 ? b 2 ? c 2
同学在议论交流形成共识之后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
1、 1、课文
2、 选用作业。
能得到直角三角形吗
教学目标：
知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立
数学模型．
3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会
数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，
并会辨析哪些问题应用哪个结论．
会辨析哪些问题应用哪个结论．
标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇
教学过程：
复习引入：
请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？
AB=5，AC=12，则
BC=13 对吗？
创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第
9 页古埃及造直角的方法．
这样做得到的是一个直角三角形吗？
提出课题：能得到直角三角形吗
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讲授新课：
⒈如何来判断？（用直角三角板检验）
这个三角形的三边分别是多少？（一份视为
1）它们之间存在着怎样的关系？
就是说，如果三角形的三边为
a ， b ， c ，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直
角三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时）
⒉继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长
　　5，12，13；
6,　8, 10；
8，15，17.
（1）这三组数都满足
a2 +b2=c2 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
⒊直角三角形判定定理：如果三角形的三边长
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角
a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中　∠A
都应为直角．工人
师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
随堂练习：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
⑴9，12，15；
⑵15，36，39；
⑶12，35，36；
⑷12，18，22．
⒉已知?ABC
则此三角形为_______三角形,
______是最大角.
AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面
课堂小结：
⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角
a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
1.3.蚂蚁怎样走最近
教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.
2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.
教学重点难点：
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重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
1、创设问题情境，引入新课：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
例如：欲登
12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物
5 米，至少需多长的梯子？
根据题意，(如图)AC
是建筑物，则
AC=12 米，BC=5
是梯子的长度.所以在
AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13
所以至少需
13 米长的梯子.
2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于
12 厘米，底面半径等于
3 厘米．在圆行柱的底面
A 点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面上与
A 点相对的
B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从
B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条
路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从
点的最短路线是什么?你画对了
（3）蚂蚁从
A 点出发，想吃到
B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生
分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线
AA′将圆柱的侧面展开
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B；
(2)A→B′→B；
(3)A→D→B；
(4)A—→B.
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
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第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.
②、做一做：教材
14 页。李叔叔随身只带卷尺检测
是否与底边
AB 垂直，也就是要检测
∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结
或 AC，也就是要检测△DAB
是否为直角三角形.很
显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.
③、随堂练习
出示投影片
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨
8∶00 甲先出发，他以
6 千米/时的速度向
时后乙出发，他以
5 千米/时的速度向北行进.上午
10∶00，甲、乙两人相距多远？
2.如图，有一个高
1.5 米，半径是
1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插
入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是
0.5 米，问这根铁棒应有多长？
1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.
解：(如图)根据题意，可知
A 是甲、乙的出发点，10∶00
AB=2×6=12(千米)；
AC=1×5=5(千米).
在 Rt△ABC
中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以
BC=13 千米.即甲、乙两人相距
2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定
的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的
A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为
x 米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是
2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是
1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在
2~3 米之间(包含
3.试一试(课本
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水
面是一个边长为
10 尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面
1 尺.如果把这根芦苇
垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为
x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
则水池的深度为
12 尺，芦苇长
④、课时小结
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这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识
解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.
⑤、课后作业
数怎么又不够用了(一)
(一)知识目标:
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.
(二)能力训练目标:
1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合
2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他
们的思维判断能力.
(三)情感与价值观目标:
1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.
3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.
1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数.
1.把两个边长为
1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
一、创设问题情境,引入新课
［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?
［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.
［生］在初一我们还学过负数.
［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的
正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活
的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
二、讲授新课
1.问题的提出
［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为
1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，
动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).
［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.
［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
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下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为
a 应满足什么条件呢？
是正方形的边长，所以
a 肯定是正数.
［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知
［生丙］由
a2=2 可判断
［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么
a 是整数吗？
a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.
［生甲］我们组的结论是：因为
12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以
2 之间，故
a 不可能是整数.
［生乙］因为
，…两个相同因数的乘积都为分数，所以
［师］经过大家的讨论可知，在等式
a2=2 中，a
既不是整数，也不是分数，所以
a 不是有理数，
但在现实生活中确实存在像
a 这样的数，由此看来，数又不够用了.
投影片§2.1.1 A
(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为
b 应满足什么条件？b
是有理数吗？
［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.
［生］在直角三角形中，若两条直角边长为
a，b，斜边为
［师］在这题中，两条直角边分别为
1 和 2，斜边为
b，根据勾股定理得
b2=12+22，即
则 b 是有理数吗？请举手回答.
［生甲］因为
22=4，32=9，4＜5＜9，所以
b 不可能是整数.
［生乙］没有两个相同的分数相乘得
b 不可能是分数.
［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为
5 不是有理数.
［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数
a，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关
于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，
即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，
这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为
1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来
表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出
了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈
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a 不是有理数.
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方
面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的
希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.
三、课堂练习
P35 随堂练习
如图，正三角形
ABC 的边长为
可能是整数吗？可能是分数吗？
解：由正三角形的性质可知
中，由勾股定理得
h2=3.h 不可能是整数，也不
可能是分数.
(二)补充练习
为了加固一个高
1 米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为
则由勾股定理得
a2=12+22，即 a2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？
的值大约是
2.2，这个值不可能是分数.
四、课堂小结
1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.
2.能判断一个数是否为有理数.
五、课后作业：见作业本。
数怎么又不够用了(二)
(一) 知识目标：
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
2.会判断一个数是有理数还是无理数.
(二)能力训练目标：
1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步
发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，
训练大家的思维判断能力.
(三)情感与价值观目标：
1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.
2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.
1.无理数概念的探索过程.
2.用计算器进行无理数的估算.
3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.
1.无理数概念的建立及估算.
2.用所学定义正确判断所给数的属性.
老师指导学生探索法
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一、创设问题情境，引入新课
［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如
a2=2,b2=5 中的 a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它
二、讲授新课
1.导入：［师］请看图
大家判断一下
3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
［生］因为
3 个正方形的面积分别为
1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方
形边长就大.
［师］大家能不能判断一下面积为
2 的正方形的边长
a 的大致范围呢？
［生］因为
a2 大于 1 且 a2 小于 4，所以
［师］很好.a
2 小，可以表示为
1＜a＜2.那么
1 点几呢？请大家用计
算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如
1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，
1.42=1.96，1.52=2.25，而 a2=2，故 a 应比
1.4 大且比
1.5 小，可以写成
1.4＜a＜1.5，所以
4 几，即十分位上是
4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.
［生］因为
1.412=1.=2.0164，所以 a 应比
1.41 大且比
1.42 小，所以百分位上数字
［生］因为
1.921，1.744，1.569，1.396，
1.225，所以 a 应比
1.414 大而比
1.415 小，即千分位上的数字为
［生］因为
1.932=2.，所以 a 应比
1.4142 大且比
1.4143 小，
即万分位上的数字为
［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.
［生］我的探索过程如下.
1.4＜a＜1.5
1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143
［师］还可以继续下去吗？
［生］可以.
［师］请大家继续探索，并判断
a 是有限小数吗？
［生］a=1.…，还可以再继续进行，且
a 是一个无限不循环小数.
［师］请大家用上面的方法估计面积为
5 的正方形的边长
b 的值.边长
b 会不会算到某一位时，
它的平方恰好等于
5？请大家分组合作后回答.(约
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［生］b=2.…，还可以再继续进行，b
也是一个无限不循环小数.
［生］边长
b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于
5，但我不知道为什么.
［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，
学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果
b 算到某一位时，它的平方恰好等于
b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是
b 不可能是有限小数.
2.无理数的定义
请大家把下列各数表示成小数.
，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每
个小组计算一个数，这样可以节省时间.
［生］3=3.0，
是有限小数，
是无限循环小数.
［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任
何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像上面研究过的
a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数.
无限不循环小数叫无理数(irrational number).
a，b 外，圆周率
π=3.…也是一个无限不循环小数，0.…(相邻两
8 的个数逐次加
1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.
3.有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
4.例题讲解
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
， 0.57 ，0.…(相邻两个
0 的个数逐次加
解：有理数有
三、课堂练习
(一)随堂练习
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.4583， 3.7 ，－π，－
解：有理数有
0.4583， 3.7 ，－
无理数有－π.
(二)补充练习
投影片(§2.1.2 A)
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(1)有理数与无理数的差都是有理数.
(2)无限小数都是无理数.
(3)无理数都是无限小数.
(4)两个无理数的和不一定是无理数.
解：(1)错.例
(2)错.例1.5 是有理数.
(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.
(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例
投影片(§2.1.2 B)
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
,4.96 ，3.14159，－5.2323332…，112…(由相继的正整数组成).
解：有理数有
,4.96 ，3.14159，
无理数有－5.2323332…，112….
投影片(§2.1.2 C)
在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.
［生］有理数集合填
无理数集合填－π，－
四、课时小结
本节课我们学习了以下内容.
1.用计算器进行无理数的估算.
2.无理数的定义.
3.判断一个数是无理数或有理数.
五、课后作业：见作业本。
平方根（1）
教学目标：
1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2、会求一个正数的算术平方根。
3、了解算术平方根的性质。
教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。
教学难点：算术平方根的概念、性质。
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教学过程：
一、问题引入
1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为
13 的正方形的
边长究竟是多少？
学生活动：
（1）完成课本
P32 的填空：
a2=_____b2=____，
c2=_____d2=_____e2=______，f2=______
（2）a，b，c，d，e，f
中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？
2.师生互动
集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。
二、讲授新课：
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数
x 的平方等于
a ，即 x 2 ? a ，那么，这个正数
a 的算术平方根。记为：“
a ”读做根号
a 。特别地，0
的算术平方根是
a 2 ? 2 ，则 a = 2
b2=3，则 b=
这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为
分别写出下列各数的算术平方根
（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）
例 2 自由下落物体的高度
h（米）与下落时间
t(秒)的关系为
h=4.9t2.有一铁球从
19.6 米高的建
筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？
学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。
师生互动：完成引例中的
x 2 ? 13 ，则 x
13 ，以后我们可以利用计算器求出这个数的近似
三、随堂练习：P39
四、小结：
（1）内容总结：
①算术平方根的定义、表示；
a 的双重非负性。
（2）方法归纳：
转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。
五、作业：
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平方根（二）
教学目标：
1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2、会求一个正数的平方根。
3、了解平方根和算术平方根的性质。
4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。
教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。
教学过程：
一、复习提问
1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。
2、9 的算术平方根是
还有其他的数的平方是
二、讲授新课：
的数有几个？平方等于
0.64 的数呢？
学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。
2.教师活动：
一般地，如果一个数
x 的平方等于
x 2 ? a ，那么，这个数
a 的平方根。也叫做
二次方根。
的平方都是
9 的平方根有两个
3 和—3；9
的算术平方根只有—个，是
3.学生活动：
求出下列各数的平方根。
三、议一议：
（1）一个正数的有几个平方根？
有几个平方根？
（3）负数呢？
★教师活动：
一个正数有两个平方根，0
只有一个平方根，它是
0 本身；负数没有平方根。
☆学生活动：
正数的两个平方根有什么关系吗？
讨论，交流得出：
a 有两个平方根，一个是
a 的算术平方根，“
a ”，另一个是“
a ”，它们互为相
反数。这两个平方根合起来，可以记做“
a ”，读作“正、负根号
开平方：求一个数
a 的平方根的运算，叫做开平方。其中
a 叫做被开方数。（已知指数和幂，
求底数的运算是开方运算）
★教师活动
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开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。
四、例题精析：
求下列各数的平方根：
（1）64，（2）
，（3）0.0004,
(4)(-25)2,
注意书写格式。
五、随堂练习：P36
若 x 2 ? 402 ? 412，求x ；
★教师活动：
2，要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。
六、想一想
2 等于多少
? 等于多少
(2)? 7.2?等于多少，
(3)对于正数a，?
a ?等于多少，
师生互动，讨论交流得出：（
a）2 ? a（a
七、小结：
1. 平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。
2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。
八、作业：
2.4 和试一试
　　1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；
　　2.理解开立方的概念；
　　3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别.
教学重点和难点
　　重点：立方根的概念及求法.
　　难点：立方根与平方根的区别.
教学过程设计
一、复习：请同学回答下列问题：
　　(1)什么叫一个数
a 的平方根?如何用符号表示数
a(≥0)的平方根?
　　(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0
平方根是什么?
a≥0 时，式子
a，－a，±a，的意义各是什么?
　　答：(1)如果一个数
x 的平方等于
x2=a，那么
a 的平方根，表示为
　　(2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0
的平方根是
　　(3)a≥0，a
a 的算术平方根，－a
a 的负平方根，±a
a 的平方根.
二、引入新课
　　1.计算下列各题：
0.13 ；　　(2)
(?23 )3 ；　　(3)
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　　答：(1)
0.13 =0.001；　　(2)
(?23 )3 =－827；　　(3)
　　指出：上面各题是已知底数和乘方指数求三次幂的运算，也叫乘方运算.
　　怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么?
　　(1)(　　)3=18;　　(2)(　　)3=－27 125;　　(3)(　　)3=0.
　　答：已知乘方指数和
3 次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.
　　设某数为
x，则(1)式为
=18，求 x；　　(2)式为
x 3 =－27125,求 x；(3)式为
x3=0 求 x。
　　2.立方根的概念.
　　一般地，如果一个数的立方等于
a，这个数就叫做
a 的立方根(也叫做三次方根).
　　用式子表示，就是，如果
x 3 =a，那么
a 的立方根.数
a 的立方根用符号“
3 a ”表示，
读作“三次根号
a 是被开方数，3
是根指数.(注意：根指数
3 不能省略).
　　3.开立方.
　　求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方
根可以通过立方运算来求.
　三、讲解例题：
1 求下列各数的立方根：
　　(1)8；　　(2)－8；　　(3)0.125；　　(4)－27125；　　(5)0.
　　分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求.
　　解 (1)因为
23 =8，所以
8 的立方根是
　　问：除
2 以外，还有什么数的立方等于
8?也就是说，正数
8 还有别的立方根吗?
　　答：除
2 以外，没有其它的数的立方等于
8，也就是说，正数
8 的立方根只有一个.
　　(2)因为
(?2)3 =8，所以－8
的立方根是－2
3 ? 8 =－2
　　问：除－2
以外，还有什么数的立方等于
8?，也就是说，负数－8
还有别的立方根吗?
　　答：除－2
以外，没有其他的数的立方等于－8，也就是说，－8
的立方根只有
　　(3)因为
0.53 =0.125，所以
0.125 的立方根是
3 0.125 =0.5.
　　(4)因为(－
，所以－27 125
的立方根是－35，即
　　(5)因为
03 =0，所以
0 的立方根是
　　问：一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么?
　　答：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零.
　　指出：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.
2 求下列各式的值：
3 27 ；　　(2)
3 ? 64 ；　　(3)
　　解 (1)327=3；　　(2)
3 ? 64 =－4；　　　　　 (3)
四、随堂练习
1.判断题：
的平方根是
2；(　　)　　　　　　　(2)8
的立方根是
　　(3)－0.064
的立方根是－0.4；(　　)
的立方根是±13(　　)
的平方根是±4；(　　)；
是 144 的平方根.(　　)
　　2.选择题：
0.000125 的立方根是(　　).
　　A.0.5　　B.±0.5　　C.0.05　　D.0.005
　　(2)下列判断中错误的是(　　)
　　A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数
　　B.一个数的两个平方根之积负数
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　　C.一个数的立方根未必小于这个数
　　D.零的平方根等于零的立方根　　
　　3.求下列各数的立方根：
　　(1)27；　　(2)－38；　　(3)1；　　(4)0.
　　4.求下列各式的值：
(1)100； (2)
3 1000 ；　(3)
3 1 ；　　
　　请思考下面的问题：
　　1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数
a 的立方根?a
的取值范围是什么?
　　2.数的立方根与数的平方根有什么区别?
　　答：1.如果一个数的立方等于
a，这个数就叫做
a 的立方根，用符号
3a 表示，a
　　 2.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的立
方根，但没有平方根.
　　3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.
　　六、作业：见作业本。　　
公园有多宽
(一)教学知识点
1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个
2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.
(二)能力训练要求
1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.
2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.
1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.
2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.
掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.
一.导入新课
同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？
（我猜的.）
“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，
是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.
二.讲授新课
问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的
2 倍，它的面积为
400000 米 2.
(1)公园的宽大约是多少？它有
1000 米吗？
(2)如果要求误差小于
10 米，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是
800 米 2，你能估计它的半径吗？(误差小于
提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么
它们之间有怎样的联系呢？
（因为已知长方形的长是宽的
2 倍，且它的面积为
40000 米 2，根据面积公式就能找到它们的
关系式.可设公园的宽为
x 米，则公园的长为
2x 米，由面积公式得：
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2x2=400000
∴x2=200000。所以公园的宽
x 就是面积
200000 的算术平方根）.
在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出
正整数的平方和
10 以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.
12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；
122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.
13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.
下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.
（1）公园的宽没有
1000 米，因为
1000 的平方是
1000000，而
200000 小于
1000000，所以它
1000 米宽.
大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？
100 的平方是
1 的平方是
1000000，而
200000 大于
10000 小于
1000000，所以
公园的宽比
100 大而比
1000 小，是三位数.
大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的估算作
准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题.
400 的平方等于
0 的平方为
250000，所以公园的宽
400 大比 500 小.
400 多，再继续估算，估计十位上的数字是几.
440 的平方为
0 的平方为
202500，所以
450 小，故十位上的数
因为题目要求误差小于
10 米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园
440 米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤.
1.估计是几位数.
2.确定最高位上的数字(如百位).
3.确定下一位上的数字.(如十位)
4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位.
在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式.
（设半径为
x 米，则有
πx2=800∴x2=
102=100，，所以
x 应是两位数，又因为
152=255，162=256，所以
16 小，应为
15 点几，所以应为
在题目中要求误差小于
1，而不是精确到
16 米都满足要求，即
二、议一议
(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
0.43 ≈0.066； 3 900 ≈96；
2536 ≈60.4
(2)你能估算
3 900 的大小吗？(误差小于
解：（1）因为
0.652=0.=0.4356，而 0.43 大于 0.4225 小于 0.4356，所以
于 0.65 小于 0.66，所以估算错误.
2 个错.因为
10 的立方是
比 1000 小，所以
900 的立方根应比
1000 的立方根
小，即小于
10，所以估算错误.
3 个错.因为
60 的平方是
3600，所以
60 小，所以估算
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第(2)小题请大家按总结的步骤进行.
(1)先确定位数
1 的立方为
1，10 的立方为
1000，所以应是一位数.
(2)确定个位上数字.
9 的立方为
729，所以个位上的数字应为
三、例题讲解
2］通过估算，比较
分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.
5 )2＞22，所以
5 ＞2，所以
6 ?1的整数部分为
a，小数部分为
5 ? 2 6 的整数部分和小数部分分别为
四、课堂练习
(一)随堂练习
(二)补充练习：比较
12 与 3.4 的大小.
3.4 的平方为
11.56，所以
五.课堂小结
本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较
六.课后作业：习题
用计算器开方
(一)知识目标
1.会用计算器求平方根和立方根.
2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.
(二)能力训练目标
1.鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲.
2.鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法.
3.能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及
数学结论的确定性.
(三)情感与价值观目标
让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.
1.探索计算器的用法.
2.用计算器探求数学规律.
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1.探索计算器的用法.
2.用计算器探求数学规律.
学生探索法.
一、新课导入
我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算.
23=8，2 叫 8 的立方根，8
叫 2 的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方.对于
的立方，20
以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根
或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方
根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方.
二、新课讲解
［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样便于大家互相讨
论问题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉一下程序，若
你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、
立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家
8 分钟时间进行探索.
［师］好，时间到，大家的程序掌握了吗？
［生］掌握了.
［师］现在根据自己掌握的程序计算
6?7 －π，然后和书
中的数据相对照，检查自己做的是否正确.
［生］正确.
三、做一做
利用计算器，求下列各式的值(结果保留
4 个有效数字)：
(1) 800 ；(2) 3
0.58 ；(4) 3 ? 0.432 .
［师］哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？
(1) 800 ≈28.28；(2) 3
≈1.639；(3)
0.58 ≈0.7616；(4) 3 ? 0.432 ≈－0.7560.
［例题］利用计算器比较
3 3 =1.， 2 =1.
［师］请大家用计算器求下列各式的值(结果保留
4 个有效数字)
投影片：(§2.5 A) (1)
(2) 0.81 ；
(3) 1369 ；
(4) 1.5376 ；
(6) 0.24 ；
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(7) 3 48.3 ；
(8) 3 343.5 ；
(9) 3 4936 ；
(10) 3 0.007283 .
［师］刚才我们练习了
10 个小题，对于求平方根或者立方根的程序已基本熟练，在此基础上，
下面我们来做一个判断题，看看题中已经求出的立方根与平方根是否正确.
投影片：(§2.5 B)
下列计算结果正确吗？
(1) 1234 ≈35.1；
(2) 3 1200 ≈10.6；(3) 8955 ≈9.5；(4) 3 12345 ≈231.
［生］(1)正确.因为题目没有要求结果保留几个有效数字，所以正确.
(2)正确.和上面的原因相同.
8955 ≈94.6.
(4)错. 3 12345 ≈23.1.
四、议一议
(1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方
运算……随开方次数的增加，你发现了什么？
［师］请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数字不要相同，按要求去做然后总结.
［生］我找的数是
，一直进行开平方运算，运算的结果是越来越接近
［师］其他同学的情况怎样呢？
［生］(齐声答)也是这个结果.
［师］哪位同学能做一下总结？
［生］任何一个大于
1 的数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越近
［师］这位同学的语言表达能力很棒，这就是规律，再看(2)题.
(2)改用另一个小于
1 的正数试一试，看看是否仍有规律.
［生］和上面的结果一样.
［师］既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？
［生］任何一个正数，不管它是大于
1 的数，还是小于
1 的数，一直进行开平方运算，运算的
结果越来越接近
［师］非常棒.大家能否把(1)、(2)中的开平方运算改成开立方运算进行探索呢？
［生］结果也是越来越趋近于
［师］请一位同学总结一下.
［生］任何一个正数，利用计算器进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算…随着开方
次数的增加，结果是越来越接近
五、课堂练习
1.利用计算器，比较下列各组数的大小. (1)
3 11, 5 ；
2.用计算器求下列各式的值.
(1) 0.2116 ；(2)－
56169 ；(3)
0.0121 ；(4)
790.8 ；(6)
0.0006705 ；
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六、课时小结
1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进行操作.
2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.
Ⅴ.课后作业:习题
2.5(作为测验试卷)
实数（一）
1.了解无理数及实数的意义，并用类比的方法引入实数的相关概念等；
2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值；
3.灵活运用开方的有关知识解决问题；体现从有理数运算到实数运算的自然过渡。
1. 无理数和实数的概念；
2. 对无理数相反数和绝对值的求法。
1.区分偶次方根和奇次方根；
2.对无理数的意义的理解。
1. n 次方根
求 a 的 n 次方根的运算，叫做把
a 开 n 次方，a
叫做被开方数，n
叫做根指数。
2. 奇次方根和偶次方根
将一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根；
将一个非负数开偶次方时，求得的方根叫做偶次方根。
3. 开方：求一个数的方根的运算，叫做开方。
开 n 次方与
n 次乘方互为逆运算。
整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数。
无限不循环小数叫做无理数（即开不尽方的数）无理数不能表示成分数的形式。
任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地给予表示。
有理数和无理数统称为实数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每点又都可以表示一个实数。（一一对
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7. 实数的相反数
a 表示一个实数，－a
叫 a 的相反数，0
的相反数是
8. 实数的绝对值
【典型例题】例
1. 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正实数？
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10、课堂练习：
(一)知识目标:
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确
3.正确运用公式
a ?b(a ? 0,b ? 0);
(a ? 0,b ? 0) .
(二)能力训练目标:
1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新
2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.
(三)情感与价值观目标:
时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习
期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一
种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计
算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.
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1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.
2.发现规律：
a ?b(a ? 0,b ? 0);
(a ? 0,b ? 0) .并能用规律进行计算.
1.类比的学习方法.
2.发现规律的过程.
一.新课导入
上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝
对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能
在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.
二.新课讲解
1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律.
（加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.）
下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无
理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了.
2 ? 3 2 ? (2 ? 3) 2 ? 5 2.
所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.
例：计算：
7 ；(3)(2 5 )2；(4) ( 2 ?
解：(1)原式=1+1=2；(2)原式=0；(3)原式=22·(
5 )2=4×5=20；
2.做一做（书上
请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.
通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.
如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？
a ?b (a≥0,b≥0)；
(a≥0,b＞0)
3 －4；(3)(
3 －1)2；(4)
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4 ? 2; (2) 27 ? 3 ? 4 ? 81 ? 4 ? 9 ? 4 ? 5;
(3)( 3 ? 1)2 ? ( 3)2 ? 2 ? 3 ?1 ? 12 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 4 ? 2 3;
3.例题讲解
［例题］化简：（书上
49 页例题）
三.课堂练习
(一)随堂练习
(二)补充练习
(1) 80 ? 5 ?
50 ? 2 ；(2)(1+
5 )( 5 －2)；(3)
2( 2 ? 8) ；(4)
100 ? 20 ?10 ?10 ；
(2)(1+ 5 )( 5 －2)= 5 －2+(
5 = 5 －2+5－2
2 ? 8) ? 2 ? 2 ?
2 ? 2 ? 2 ? 8 ? 4 ?
16 ? 2 ? 4 ? 6 ；
)2 ? ( 3)2 ? 2? 3 ?
)2 ? 3? 2 ? ?
4 10 ? 5 40
? 4 ? 5 4 =4+10=14.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为
cm，求这个直角三角形的面积.
5 ? 45 ? ?
(5 ? 3)2 ?
?15 ? 7.5(cm 2 )
答：这个三角形的面积为
四.课时小结
五.课后作业：习题
六.活动与探究
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下面的每个式子各等于什么数？
22 , 32 , 42 ,?, 20012 , 20022 , 20032 .
由此能得到一般的规律吗？对于一个实数
a 2 一定等于
(一)知识目标:
(a≥0,b≥0)；
(a≥0,b＞0)的运用.
2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.
(二)能力训练目标:
1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.
2.让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.
(三)情感与价值观目标:
1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学
结论的确定性.
2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，
从中体会数学的使用价值.
1.两个法则的逆运用.
2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.
一.导入新课
请大家先回忆一下算术平方根的定义.
（若一个正数
x 的平方等于
x 叫 a 的算术平方根.）
下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.
问：设大正方形的边长为
a，小正方形的边长为
b.请同学们互相讨论后得出结果.
（由正方形面积公式得
a2=8,b2=2.所以大正方形边长
8 ，小正方形边长
a 与 b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.
（大正方形的面积为小正方形面积的
4 倍，大正方形的边长是小正方形边长的
8 根据什么法则就能化成
2 呢？这就是本节课的任务.
二.新课讲解
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请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？
(a≥0,b≥0)；
(a≥0,b＞0) ）
请大家根据上面法则化简下列式子.
(1) 3 ? 3 ；
2 ? 4 ；(3)
32 ? 3 ；(2) 2 ?
请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推
（.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.）
确实成立.下面再分析这些式子：
(1) 3? 3 ?
(2) 2? 4 ?
2 ? 4 ? 2 2;
并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？
a ?b （ a≥0,b≥0）
（a≥0,b＞0.）
27 ； (2) 45 ；(2)
.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？
这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？
（是平方数.如(1)中根号内的
9 移到外面变成了
3；(2)、(4)中也是，(3)中有
64 移到外面成了
8.(5)中 16 移到外面变成
4，(6)中分母
25 移到外面变成
也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子
叫不叫化简呢？（化简）
能否说一下它的特征呢？
如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，
然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可
通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？
（.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.）
上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用
法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？
一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根
号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用
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1］化简：（书上
(1)－2 10 ?3
18a ? 10ab ；
? 2 10 ? 3 30 ? ?2 ? 3 10 ? 30 ? ?6 102 ? 3 ? ?6 ? 102 ? 3 ? ?6 ?10 ? 3
? ?60 3 ；
18a ? 10ab ? ? 18a ?10ab ? ? 36?5a 2b ? ? ? 36 ? a 2 ? 5b
? ? ?6? a? 5b ? ?a 5b ；
xy ? ? ? x ；(4) 5
三.课堂练习
（1）随堂练习
（2）化简：(1)(2) 0.125a5b6c7 ;(3)
?(4) 4a3 ?16a 2 .
四.课堂小结
五.课后作业
回顾与思考
(一)知识目标:
1.本章知识的网络结构.
2.重点内容归纳.
(1)数怎么又不够用了，引出了无理数.(2)有理数与无理数的联系与区别.
(3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根.
(4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.(5)估算的方法.
(6)用计算器开方.(7)实数的定义，实数的运算法则和运算律.
(二)能力训练目标:
1.熟练掌握本章的知识网络结构.
2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义.
3.理解有理数与无理数的区别与联系.4.开方运算和乘方运算有什么联系？
5.掌握估算的方法.6.正确运用实数的运算法则和运算律.
(三)情感与价值观目标:
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通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴
趣、求知欲望，并培养良好的学习品质.
本章知识的网络结构，知识间的相互关系.
知识的运用.
本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识.
（本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求
法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.）
本节课将对本章知识内容进行系统归纳，总结.
二.讲授新课
1.重点内容归纳
(1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别.
a2=2 得 a 既不是整数，也不是分数，所以
a 不是有理数，是无理数，就引入了无理数）.
(2)算术平方根与平方根的联系与区别.
若一个正数
x 叫 a 的算术平方根；若一个数
x 叫 a 的平方根.它们的联系有：
(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与算术平方根都
是只有非负数才有.(3)0
的平方根，算术平方根都是
区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只
有一个.(3)表示法不同.正数
a 的平方根表示为±
a 的算术平方根表示为
a .(4)取值范围
不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.
(3)立方根的有关知识.
若 x3=a，则
x 叫 a 的立方根.立方根的性质有：一个正数的立方根是一个正数.一个负数有一个
负的立方根，零的立方根为零.
立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？
立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，开方运算和乘方运算是互为逆运算.
是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来进行的.估算的步骤大致为：(1)估计是几
位数；(2)确定最高位上的数字(如百位)；(3)确定下一位上的数字(如十位)；(4)依次类推，直到确定
出个位上的数或者按要求精确到小数点后的某一位.
(5)实数的定义及实数的运算法则和运算律.
a.有理数和无理数统称为实数.
b.实数的分类有:
(1)按定义分
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?正有理数?
?有理数?零
?有限小数或无限循环小数
(2)按大小分:实数
?负有理数?
?正无理数?
?无限不循环小数
?负无理数?
c.实数大小的比较
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.
d.实数和数轴上点的对应关系.
实数和数轴上的点是一一对应的关系.
e.实数的几个概念.
(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值都和有理数范围内的概念相同.
f.实数的运算法则和运算律.
2.知识点的运用
1］判断题:
(1)4 的算术平方根是±2；(2)4
的平方根是
2；(3)8 的立方根是±2；
(4)无理数就是“没有理由的数”；(5)不带根号的数都是有理数；
(6)无理数就是开方开不尽的数；(7)两个无理数的和还是无理数.
2］把下列各数写入相应的集合中.
3 11 ，0.3，
49, 3 ?8 ，0，0.…(相邻两个
0 的个数逐次加
(1)正数集合{
…}；(2)负数集合{
(3)有理数集合{
…}；(4)无理数集合{
注：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理数集合是从实数的分类来考虑的，正、
负数可能是有理数或无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数.
3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较.
(1) 17 ，3.965；(2) 3 11 ， 19 .
4］求下列各数的平方根与算术平方根：
(2)361；(3)
；(4)10－4.
注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置的.
3);(2) 18 ?
72;(3) 32 ? 3
三.课堂练习：
1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？
；(3) 2 12 ? 3 48 ；(4)
3．如下图所示,15
只空桶(每只油桶底面的直径均为
50 厘米)堆在一起,要给它们盖一个遮雨棚,遮雨
棚起码要多高?
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解:设油桶底面的直径为
由图根据勾股定理得
h= (4d)2 ? (2d)2 =2 3 d
=(2 3 +1)×50
≈223.20(厘米)答：遮雨棚起码要
223.20 厘米高.
图形的平移与旋转
生活中的平移
教学目标：
1、知识和技能目标：
①经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移基本性质的过程以及与
他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、
对应线段和对应角分别相等的性质。
2、情感与态度目标：
通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣。
通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美，体会美的价值所在，
进而追求美并创造美。
教学重点和难点：
1、 教学重点：探索图形平移的主要特征和基本性质。
2、 教学难点：从生活中的平移现象中概括出平移的特征。
教学方法：
采用自主探究式的教学方法，本着贯彻启发性、直观性、理论联系实际的教学原则，体现以教
师为主导，学生为主体的教学思想，确定本节课的教学方法如下：
①采用引导发现法：逐步呈现教学信息，突出教师的主导作用和学生的主体作用；突出独立性、
又体现合作性。通过学生自主学习、交流，师生互动，让学生自主获取知识。
②创设问题情境：营造和谐的教学氛围，引导学生的学习兴趣，激发求知欲望。
③讲练结合、步步设疑、逐渐深入、引导猜想、归纳总结、实验验证的探究式思维训练。
学习方法：
观察——分析——探索——概括
教学准备：
多媒体课件
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教师通过多媒体展示现实生
活中平移的具体实例：
学生观察多媒体展示的
展示画面：
从现实生活
（1）电视机在传送带上移动的
中的具体实例中
抽象出数学问题，
（2）手扶电梯上人的移动的过
让学生观察、思
考并进行探索。
教师提问：
（1）你能发现传送带上的
电视机、手扶电梯上的人在平移
前后什么没有改变，什么发生了
学会从实际
（2）在传送带上，如果电
学生自由发言，各抒己
问题中抽象出数
视机的某一按键向前移动了
学模型的能力。
80cm，那么电视机的其它部位
平移前后两个图形的形
（如屏幕左上角的图标）向什么
状和大小没有改变，位置发
方向移动？移动了多少距离？
生了改变。
（3）如果把移动前后的同
学生回答：
一台电视机屏幕分别记为四边形
向前移动了
和四边形（多媒体演示书上第
3-2），那么四边形与
四边形的形状、大小是否相同？
形状和大小都相同。
引入课题：生活中的平移
根据上述分析，你能说明什
么样的图形运动称为平移？
在学生发现和归纳的基础上
学生分组进行交流、讨
通过讨论，
平移定义：在平面内，将一
论、归纳。
强化对定义的理
个图形沿某个方向移动一定的距
离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
同学们通过刚才的观察，总
结出一个结论，即：“图形的位
置改变了，但形状和大小没有改
变”。现在我们一起来探索：平
移前后对应点、对应线段以及对
应角之间在做怎样的变化。
教师提出问题：
P59 想一想：（课件演示
学生观察多媒体中四边
P58 图 3-2）
形平移的图形，证实刚才探
探索平移的
（1）在上图中，线段
索的结论。
性质，培养学生
有怎样的位置关系？
观察、分析、归
）图中每对对应线段之间有
纳、猜想的能力
学生分成四人一组，
怎样的位置关系？
及协作能力。
共同探讨平移的性质。
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（3）图中有哪些相等的线段、
相等的角？
让学生归纳总结，教师
教师要让学
板书平移的性质：
生充分发表自己
意见，说出他们
经过平移，对应点所连
探索出的结论。
的线段平行且相等，对应线
学生通过观察、测
同时要给予激励
段平行且相等，对应角相等。
量、比较等方法寻找平
性评价，鼓励学
移的性质。
例 1、（课件演示）
如图所示，△ABE
方向平移一定距离后成为
引导学生从
△CDF。找出图中存在的平行且
学生观察、思考、相互
“对应点所连线F
相等的三条线段和一组全等三角
讨论，然后叫学生回答。
面找平行且相等
如图所示，∠DEF
∠ABC 经过平移得到的，∠ABC＝
33O，求∠DEF
培养学生自
第一题由学生独立完成。
己解决问题的能
2．在下面的六幅图案中，
（2）（3）（4）（5）（6）中
的哪个图案可以通过平移图案
（1）得到？
教师再提问：
如果不限定“通过平移图案
学生相互交流，让所有
通过训练，
（1）得到”，那么请大家想一
的学生都参与到问题的讨论
强化对平移性质
想还有哪些图案可以通过平移得
的理解与运用。
教师进一步提问：
为什么（6）不是（1）平移
得到的？你还能从这几只“向日
葵花”中，观察到什么？
变式练习：
图中的四个小三角形都是等
边三角形，边长为
2cm，能通过
讨论解题思路，独立写
结合平移的
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三角形吗？
性质及平行线的
性质，使学生前
后所学知识得到
融会贯通。
移的距离。
使学生能在
图案欣赏：将搜集来的一些图案
有趣的图形中学
通过多媒体展示出来，让学生感
习数学知识，充
受“平移”给我们带来的美。
分感受到美来源
于生活，同时数
学也能创造美。
组织学生小结这节课所学的
小结本节课所学的内容。
培养学生及
内容，并作适当的补充。
时总结，知识内
巩固所学知识。
1.通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美，体会美
的价值所在，进而追求美并创造美。
2.通过训练，强化对平移性质的理解与运用，培养学生自己解决问题的能力。
简单的平移作图(一)
1.简单的平移作图.
2.确定一个图形平移后的位置的条件.
(二)能力训练目标
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发
展初步的审美能力.
2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
(三)情感与价值观目标
经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，增强学生对图形美欣赏的意识，
培养其审美观念.
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能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
简单平面图形平移后的图形的作法.
讲、练结合法.
一、巧设情景问题，引入课题
［师］通过上节课的学习，我们知道了生活中的许多现象属于平移，哪位同学能说一下什么是
平移呢？平移的基本性质是什么？
［生］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不
改变图形的形状和大小.
平移的基本性质是：
经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.
［师］很好，了解了平移的涵义及其基本性质后，能否把一些简单的平面图形进行平移呢？我
们这节课就来研究：简单的平移作图.
二、讲授新课
［师］下面来看大屏幕(出示投影片§3.2.1 A)
如图，经过平移，线段
A 移到了点
D，你能作出线段
AB 平移后的图形吗？
与同伴交流.
［生甲］因为经过平移，线段
A 移到了点
D 是对应点；又因为对
应点所连的线段平行且相等，所以连结
AD，然后过点
AD 平行且相等，最后连
结 CD，则线段
CD 就是线段
AB 平移后的图形.
［生乙］因为平移不改变图形的形状和大小，所以在作线段
AB 平移后的图形时，可过点
DC∥AB，且
DC=AB，则线段
DC 就是线段
AB 平移后的图形.
［师］很好，这个题实际是平移的基本性质的直接应用.由此可知：按要求进行平移一些简单的
平面图形时，一般都是应用平移的基本性质进行的.
下面我们通过例题来进一步说明如何平移一些简单的平面图形.
(出示投影片§3.2.1 B)
1］经过平移，△ABC
A 移到了点
D，(如图)，作出平移后的三角形.
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分析：设顶点
分别平移到了点
E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，
AD 平行且相等.
注意：作图时可用尺规进行作图，也可用三角板与直尺进行作图.
解：如上图，过点
分别作线段
BE、CF，使得它们与线段
AD 平行并且相等，连结
DF、EF，则△DEF
平移后的图形.
［师］同学们想一想，议一议(出示投影片§3.2.1 C)
(1)本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF
［生甲］过点
D 分别作出与
平行且相等的线段
DE、DF，连接
EF，则△DEF
要求作的三角形.
［生乙］过点
B 作 BE∥AD
BE=AD，然后分别以
为圆心，以线段
的长为半径
，两弧交于
F 点，连结
EF、DF，则△DEF
就是所要求作的三角形.
［师］同学们找到了“△ ABC
平移后的图形△DEF
的其他作法”.很好，现在“大家来想一想，
(出示投影片§3.2.1 D)
确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？
［生甲］确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的距离.
［生乙］还需要方向，要弄清一个图形是往左平移还是往右平移，是往上平移，还是往下平移.
［师］完全正确，这就是确定一个图形平移后的位置的条件：
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(1)图形原来所在的位置.
(2)图形平移的方向.
(3)图形平移的距离.
接下来我们来平移一个图形(出示投影片§3.2.1 E)
2］如图，将字母
A 按箭头所指的方向平移
3 cm，作出平移后的图形.
［师生共析］平移字母
A 的条件：字母
A 的位置，平移的方向——箭头所指，平移的距离——
3 cm，三个条件都具备，所以可以确定字母
A 平移后的位置.那如何作图呢？一般情况下，画图时，
先确定点，然后就可以作出所要求的图形.因此本题可以在原图形上找几个能反映本图形的关键的点，
根据“经过平移对应点所连的线段平行且相等”，确定出这几个关键点的对应点，然后按原来的方
式连接，即可得到字母
A 平移后的图形.
解：在字母
A 上，找出关键的
5 个点(如图所示)，分别过这
5 个点按箭头所指的方向作
3 cm 的线段，将所作线段的另
5 个端点按原来的方式连接，即可得到字母
A 平移后的图形.
［师］在这个例题的解题过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到字母
A 平移后的图
形，这是一种“以局部带整体”的平移作图方法，同学们要掌握.
下面通过练习来熟悉这种“以局部带整体”的平移作图方法.
三、课堂练习
P62 随堂练习.
1.将图中的字母沿水平方向向右平移
3 cm，作出平移后的图形.
解：在字母
N 上，找出关键的
4 个点(如右图)，分别过这
4 个点沿水平方向向
cm 的线段，将所作的线段的另
4 个端点按原来的方式连接，即得到
N 平移后的图形.
(二)试一试
1.图中的窗棂轮廓是由一个半圆和一个矩形组成的，试作出这个图案向左平移
6 格后的图案.
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解：分别确定矩形的四个顶点，半圆的圆心、半圆与斜线的两个交点向左平移
6 格后的位置(如
上图)，画半圆(以“圆心”平移后的位置为圆心，以
6 个格的长为直径)，连线即可得到窗棂轮廓向
6 格后的图形.
(三)看课本
P61~P62，然后小结
四、课堂小结
本节课通过平移作图进一步熟悉理解了平移的基本性质，并能应用平移性质作出一些简单平面
图形平移后的图形，了解了“以局部带整体”的平移作图方法.
五、课后作业：课本习题
简单的平移作图(二)
(一)知识目标
图形之间的平移关系.
(二)能力训练目标
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作等过程，发展学生的审美能力.
2.能够探索图形之间的平移关系.
(三)情感与价值观目标
1.通过学生对图形的观察、分析、欣赏，以及亲手拼摆等过程，培养学生对图形欣赏的意识.
2.在探索图形之间的平移关系的过程中，使学生认识和欣赏平移在现实生活中的应用.
探索图形之间的平移关系.
探索图形之间的平移关系.
探索、发现法.
一、巧设情景问题，引入课题
［师］生活中经常见到一些美丽的图案(出示投影，放图片：课本
P41~P42 的图；也可另外找一
些平移图形的图案)，这些图案都是由基本图形平移组成的，那么怎样平移基本图形就能得到美丽的
图案呢？这节课我们就来探索一些图案中的图形之间的平移关系.
二、讲授新课
［师］现在大家来看图案
1(出示投影图片：课本
P41 的第一幅)；观察图案，并回答.(出示投影
片§3.2.2 A)
(1)这个图案有什么特点？
(2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？
(3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理
［生甲］(1)图案中的六条小狗的形状、大小完全一样，只是它们所处的位置不同，由此可知：
这个图案可以通过平移“基本图案”得到.
［生乙］(2)这个图案可把“一只小狗”看做“基本图案”，通过上下、左右平移得到，平移的
距离等于左右相邻(或上下)两只小狗之间的水平距离(或垂直距离).
［生丙］这个图案还可把中间上下的“两只小狗”看做“基本图案”，通过向左、向右平移得
到，平移的距离等于左右相邻两只小狗之间的水平距离.
［生丁］这个图案也可把最左边的上下的“两只小狗”或最左边上下的“两只小狗”看成“基
本图案”，通过向右(或向左)依次平移得到，平移的距离等于图案中的左右相邻两只小狗的水平距
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［生戊］这个图案也可把水平的“三只小狗”看成是“基本图案”，通过向下(或向上)平移得
到，平移的距离等于上下垂直的两只小狗的垂直距离.
［师］同学们讨论得非常精彩，(边叙述边在电脑上演示平移过程)，这个图案既可以把一只小
狗看做“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进行平移得到
整个图案，在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已.
接下来，大家想一想第(3)问.
［生己］在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状没有发生变化，只是位置有所改变.因为
平移不改变图形的形状、大小，而改变图形的位置.
［师］很好，大家看屏幕(用电脑动画再次演示平移过程).从平移的过程中，进一步说明了平移
的特征：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.
了解了平移的特征后，大家分组来动手做一做.(出示投影片§3.2.2 B)
在下图中，左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？自己动手做做看，你能得到
右图的图案吗？
(学生分组后，教师把预先剪好的大小相同的正六边形分发下来，让学生进行实际拼摆，老师巡
［生］我把一个正六边形经过连续平移，就可以得到右图的图案.
［师］同学们通过拼摆，进一步理解了平移的基本内涵，接下来大家想一想，与同伴议一议下
面的两个图案(出示投影片§3.2.2 C).
(1)在图(课本
P64 的图 3—10)中，左图是一种“工”字形的砖，右图是怎样通过左图得到的？
(2)图(课本
P65 的图 3—11)可以看做什么“基本图案”通过平移得到的？
［生甲］(1)先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图.
［生乙］也可先把左图沿左右方向平移，再沿上下方向平移得到右图.
［生丙］(2)不考虑图案颜色的情况下，可以把“一只天鹅”看成“基本图案”，通过平移可以
得到如图所示的图案.
［生丁］如果把相邻的两只不同色的天鹅看做一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合，
两个组合……，直到所有的天鹅.
［生戊］如果不考虑颜色时，可以把同一行的天鹅看做是“基本图案”，通过上下平移就可得
到如图所示的图案.
［生己］如果不考虑颜色时，也可以把同一列的三只天鹅看做“基本图案”，通过左右平移就
可以得到如图所示的图案.
［师］很好，这是一个通过平移得到的复合图案，图案的许多部分可以通过平移而相互得到。
接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的平移关系.
三、课堂练习
P66 随堂练习
1.分析奥运五环旗图案形成的过程(不考虑图案的颜色)
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解：在不考虑图案颜色的情况下，五个环之间可以通过平移而相互得到.
2.如图，在正六边形中剪去一个与其边长相同的正三角形，并将其平移到左边，形成一个新的
图案.用这个图案能否得到类似于图
3—9 右图的图案呢？与同伴交流.
解：可以得到类似于图
3—9 右图的图案.如下图.
(二)看课本
P65~P66，然后小结.
四、课时小结
本节课我们探索了图案中图形之间的平移关系，了解了每个图案由于“基本图案”选取的不一
样，则平移关系也不一样，尤其是一些复合图案，它的许多部分可以通过平移而相互得到.
五、课后作业：课本
P66 习题 3.3
生活中的旋转
1. 经历对生活中的旋转现象有关图形进行观察、分析、欣赏等过程培养学生初步的审美能力，
增强对图形欣赏的意识，培养创新能力。
2．通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等、对应点与
旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质。
3.培养学生合作学习，探索学习的意识，追求成功的精神，增强学生自我价值感。
教学重点、难点
重点：对生活中的旋转现象作数学上的分析研究，旋转定义，旋转的性质。
难点：对旋转现象的分析研究，旋转的性质的探索。
在十分宽松的氛围中，欣赏多媒体课件，学生根据自己的思考，自主探究发现，通过合作交流
互补的协作学习，解决本课的重难点。
投影仪、电脑、时钟、小风车
寻找生活中的旋转现象
我们生活在一个充满旋转的世界里，旋转这种现象司空见惯，作用非凡，而其中包含着丰富的
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数学知识，你能举出生活中的实例吗?
在学生充分收集、观察、分析、欣赏生活中旋转实例的基础上，提出下列问题：
1． 在大家搜索到的旋转实例中，哪些部位作旋转？它们有什么共同特征？
2． 旋转的部位，其形状、大小、位置是否发生改变？
学生交流、感知并形成共识，教师给出旋转定义：
平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个
定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
小组活动——探索旋转的基本规律
教师引导学生对旋转现象进行数学上的分析。
学生观察教学课件演示，思考，交流讨论。
然后教师提出以下问题：
（1）旋转过程中旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点
分别移动到什么位置？
DO 的长有什么关系？BO
与 OF 呢？
（4）∠AOD、∠BOE、∠COF
有什么大小关系？
学生交流总结得出旋转性质：
经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋
转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
做一做——分针转了多少度？
教师利用时钟教具，提出问题：分针
1 小时转一周，20
分分针旋转了多少度？15
试一试——探索图形之间的旋转关系
利用课件分别展示，如图：分析图形中的
旋转关系。
学生探究、交流。
教师明析：图形之间还存在着旋转关系，一些较复杂的图案，可看作是由“基本图案”通过
旋转得到的，而基本图案往往不是唯一，旋转的次数和每次转动的角度都不是相同。
作品欣赏——感受生活中的美：
让学生浏览欣赏一些优秀
FLASH 作品，感受生活中的美。
创新设计——用旋转知识设计图案
1．今天我们进行了一次有意义的学习活动，你最想说什么？
2．你能运用今天学到的旋转的知识，设计出漂亮的图案吗？
学生互相交流讨论，初步形成方案。
六、教后随笔：
通过本节课的教学，同学们学习数学兴趣有了很大的改观，尤其重视数学思想方法，和数学精
神的学习锻炼。但是如此教学，课堂教学时间显得有些仓促，需加强课堂节奏。
简单的旋转作图
(一) 知识目标：
1.简单平面图形旋转后的图形的作法.
2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.
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(二)能力训练要求
1.对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
(三)情感与价值观要求
1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.
2.对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.
简单平面图形旋转后的图形的作法.
简单平面图形旋转后的图形的作法.
一.巧设情景问题，引入课题
上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？
答：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
旋转不改变图形的大小和形状.
旋转有什么性质呢？
答：旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组
成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.
大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转
90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？
在原图上找了四个点，即
点，如图(教师把该生所画的图在投影上放影)
这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，
对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕
O 点按顺时针
90°.我在方格中找到点
A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图
同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点。
这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有
方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
这节课我们就来研究：简单的旋转作图.
二.讲授新课
我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法
例 1］如图，△ABC
绕 O 点旋转后，顶点
A 的对应点为点
D，试确定顶点
对应点的位置，以
及旋转后的三角形.
分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据
性质，确定如何操作.
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的对应点分别为点
F，则∠BOE、∠COF、∠AOD
都是旋转角.
O 旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕
旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则
∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.
通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作
出来，要注意把痕迹保留下来.
(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
解：(1)连接
OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以
为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线
OE=OB、OF=OC.
(4)连接 EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC}