用4个同样的杯子 完美作业网 www.wanmeila.com
用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？（ （4+5+7+8）÷4，=24÷4，=6（厘米）．答：这4个杯子水面平均高度是6厘米．故选：C．
用四个相同的杯子装水，每个杯子分别标着水面的高度，这4个杯子中水面的平均高度是多少？第一个杯子是1 平均是84+10+6+12=3232除2=8
《三个一样的杯子》 　　 　　阿吾 　　 　　你有三个一样的杯子 　　你原先有四个一样的杯子 　　你一... 40分“三杯你有三个杯你原来的四杯你一旦被激发....../>波打破了一个现在三杯你的手在桌子上手中的一个填充的茶叶茶的故乡茶茶和半杯茶叶沉在底部杯中午擦过BR />杯留在桌子上的第一线茶垢，每个特殊目的酗酒的经常酒精杯喝你拿起一个无酒精1，牛奶</牛奶牛奶冲泡你在桌子上写重复奶气的气味奶气扑鼻<BR / 日，2011年，北京
如果买6个小水杯需要3元钱,那么买4个同样的小水杯需要多少钱?什么做 先算出每个水杯的价格，在算4个需要多少费用。一般算法：3除以6乘以4=2（元）不知道是几年级的学生，如果没有学过小数，可以先进行约分，很容易得出答案；如果约分也没有学过，可以先将元转换成角或分，进行计算，然后结果在转化为元。例如：3元=30角30/6=5角5*4=20角=2元。
四个同样大小的杯子厸多到少装水，用同一力度的筷子击打，音的高低有何变化？ 音调的高低与发声体振动的频率有关，装水越多，敲打时振动频率越低，音调也就越低。与敲打的力度无关，力度越大振幅就越大，音量也就越大。你只要用一只杯子就可做实验：逐渐向杯子里加水，用筷子敲击听听。
用四个同样的杯子，水面的高度分别是厘米，八厘米五厘米四厘米和三厘米，这是杯水水面的平均高度是多少厘 （8+5+4+3）÷4=5厘米
将三个不同的球随机放入4个不同的杯子。 三个相同的球放入不同的杯子。三个不同的球放入相同的杯子。 问题请更清楚一些。比如有几种不同的球？怎么放？什么程度上一样？结果一样还是概率一样？
一大瓶果汁正好能倒满4个相同的杯子，每个杯子的容量是这一大瓶果汁的(
) 1÷4=14答：一大瓶果汁正好能倒满4个相同的杯子，每个杯子的容量是这一大瓶果汁的14．故答案为：14．
4个杯子同样大，1号是空杯，重240。2号杯是300克，2号杯子里的橙汁是多少克？3、4杯里的橙汁 1号杯子是空杯，橙汁为0。2号杯子橙汁:300一240=60克3号杯子橙汁:60克4号杯子橙汁:60克
4个杯子同样大,|号是空杯,重150克,2号杯连果汁共重250克,其中果汁重()克 100克(神無月渡)
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奥赛小学四升五教师版
第一讲速算与巧算计算是一个学生学习数学的基石，几乎在每个学期我们都要来学习计算的方法和技巧，在四年 级春季第十一讲中，我们按照方法思路进行分类，给学生讲解了以下几种类型：凑整求和、找基准 数、分组求解、自然数的分拆、连续自然数求和巧设中间数的方法.【复习 1】 （我爱数学夏令营）计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89 分析： 原式= （6.11+1.89） （9.22+2.78） （8.33+3.67） （7.44+4.56） + + + +5.55=8+12+12+12+5.55=49.55 【复习 2】 （06 香港圣公会小学奥林匹克）计算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4 分析：原式=（3.72+5.28）+（4.6+6.4）-（2.73+0.27）=9+11-3=17 . 【复习 3】(华罗庚学校五年级入学考试试题) 8× (3.1-2.85)× 12.5× (1.62＋2.38)-3.27 分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数 8、12.5,所以可以先算一步,再 用简便方法进行计算.原式=8× 0.25× 12.5× 4－3.27=(8× 12.5)× (0.25× 4)-3.27=100-3.27=96.73 【复习 4】 （04 陈省身杯数学邀请赛） （++95678）÷ 7 分析：原式=（5+6+7+8+9）× 11111÷ 7=5×
. 观察可知 5、6、7、8、9 在万、千、百、 十、个位各出现过一次 . 【复习 5】计算：l-2+3-4+5-6+…+07 分析：原式= l+3-2+5-4+7-6+…+06=1+1×
，分组求和的思路. 巧用运算律：在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看 常用的一些运算律和结论吧！在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有： （1） 加法交换律：a＋b=b＋a （2） 加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) （3） 乘法交换律：ab=ba （4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc) （5） 分配律： a(b＋c)=ab＋ac （反过来就是提取公因数）（6） 减法（括号）的性质：a-b-c=a-(b＋c) （7） 除法的性质：a÷ c)=a÷ c (b× b÷ (a＋b) ÷ c=a÷ c＋b÷ c (a-b) ÷ c=a÷ c-b÷ c1和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变. 积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变. 商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.【例1】（04 陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415× 2-3.1415× 2 25 15分析： （法 1） ：题中的三项都有因数 34.5，容易想到把 34.5 作为公因数提取出来(把乘法分配律反 过来用)，从而使计算简便.原式=34.5× (8.23＋2.77―1)=34.5× 10=345. （法 2） ：原式=3.1415× （252-152）=3.1415× （25+15）× （25-15）=3.1415× 10=× 应用下面的平方差公式 【回忆巩固】ａ、ｂ代表任意数字， （ａ＋ｂ）× （ａ－ｂ）＝ａ× ａ－ｂ× ｂ，这个公式在数学上 称为平方差公式。【回忆巩固】用简便方法求 292 和 822 的值． （此为春季所学内 容） 分析：求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们 熟知，如 7× 7=49．对于两位数的平方，大多数同学只是背熟 了 10～20 的平方， 如右表， 21～99 的平方就不大熟悉了． 而 有 没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们 介绍一种方法――凑整补零法．所谓凑整补零法，就是用所求原数平方数原数平方数11 12 13 14 15121 144 169 196 22516 17 18 19256 289 324 361数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的 平方数． 292=29× 29=(29+1) × (29－1)+1=30× 28+1=840+1=841 822=82× 82=(82-2) × (82+2)+22=80× 84+4=6724 由上例看出，因为 29 比 30 少 l，所以给 29D补‖l，这叫D补少‖；因为 82 比 80 多 2，所以从 82 中D移走‖2，这叫D移多‖．因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数D移多补少‖后，还需要在另 一个数上D找齐‖．本例中，给一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 l；给一个 82 减了 2，就要给另一 个 82 加上 2．最后，还要加上D移多补少‖的数的平方．【例2】（06 香港圣公会小学奥林匹克）计算：8.88× 0.15+265× 0.× 8.88+0.888× 20分析：原式=8.88× 0.15+8.88× 2.65+8.88× 5.2+8.88× 2 =8.88× （0.15+2.65+5.2+2） =8.88× 10 =88.82根据D一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变‖的道理，进行适当变换，提取公 因式，进而凑整求和. 【巩固】计算 6.25 × 0.16＋264× 0.× 6.25＋0.625× 20分析：原式=6.25× 0.16＋2.64× 6.25＋5.2× 6.25＋6.25× 2=6.25× (O.16＋2.64＋5.2＋2)=62.5 【巩固】 （04 陈省身杯数学邀请赛）计算：85.42× .5× 790.329+79032.9× 4.323 分析：原式=790329× （0.5+0.4323）=790329× 1=790329 【拓展】 （我爱数学夏令营）计算：6.25× 8.27× 16+3.75× 0.827× 8 分 析 : 原 式 =6.25× 8.27+3.75× 16× 0.8× 8.27=8.27× （ 6.25× 16+3.75× 0.8 ） =8.27× （ 100+3 ） =8.27× 100+8.27× 3=851.81【例3】（希望杯数学邀请赛初赛）计算 7.816× 1.45＋3.14× 2.184＋1.69× 7.816分析：不难看出式子是 7.816 出现过两次，联想提取公因数。 原式=7.816× （1.45＋1.69）＋3.14× 2.184 =7.816× 3.14 ＋3.14× 2.184 =3.14× 10 =31.4【例4】（05 我爱数学夏令营）计算：147.75× 8.4+4.792+409× 2.1+0.9521× 479分析：原式=（147.75× 4+409）× 2.1+（0.1）× 479 =1000× 2.1+479 =2579【例5】计算 11.8× 43―860× 0.09分析：观察题中的每一个数，我们发现：860=43× 20，可把 20 与 O.09 结合. 原式=11.8× 43―43× 0.09 20× =11.8× 43―43× 1.8 =43× (11.8―1.8) =430 【前铺】计算：20.06× 37+200.6× 2.3+1.003× 800 分析：原式=20.06× 37+20.06× 23+20.06× 40=20.06× （37+23+40）=2006【例6】41.2× 8.1+11× 8.75+537× 0.19分析：原式=41.2× 8.1+11× 8.75+537× 0.19 =41.2× 8.1+11× 8.75+（41.2+12.5）× 1.9 =41.2× （8.1+1.9）+11× 8.75+12.5× 1.93=412+11× 8.75+12.5× 1.9 =412+1.1× 87.5+12.5× 1.9 =412+1.1× 12.5× 7+12.5× 1.9 =412+12.5× 1.2 8× =532 【巩固】计算 31.4× 36+64× 43.9 分析： 首先拿 31.4× 36+64× 31.4 讲解， 要求学生要观察主要要把 36 和 64 凑在一起， 这样前面有 31.4， 后面没有，所以思路分析很明显。原式=31.4× 36+64× （31.4+12.5）=0【例7】（希望杯数学邀请赛决赛）计算8.1× 1.3－8÷ 1.3＋1.9× 1.3＋11.9÷ 1.3分析：原式=8.1× 1.3＋1.9× 1.3＋11.9÷ 1.3－8÷ 1.3 =(8.1＋1.9) × 1.3＋（11.9－8）÷ 1.3 =10× 1.3＋3.9÷ 1.3 =16， 【前铺】计算：11.1× 9× 7.4× . 4÷ 3÷ 2 分析：原式=3× 3.7× 9× 3.7÷ 2=（3× 9）× 4÷ 3÷ 2× 3÷ （3.7÷ 3.7）× 2× 4÷ 2=4 . 【前铺】 （06 香港圣公会小学奥林匹克）计算：1998÷ 28+802÷ 28 分析：原式=（）÷ 28=2800÷ 28=100 .注意除数相同有类似提取公因数的方法. 【巩固】计算：2003× 2001÷ 111+2003× 37 73÷ 分析：原式=2003× （2001+73× 3）÷ 111=2003× 2220÷ 111=40060【例8】下面有两个小数：2000个0a ? 0.00...0125　　　b= 0. 00...08 ??? ? ? ???1996个0试求 a＋b，a―b，a× b，a÷ b.分析：只需记住小数的四则计算法则就能正确算出. a＋b，a 的小数点后面有 1998 位，b 的小数点后面有 2000 位.小数加法要求数位对齐，然后按整数 的加法法则计算，所以a ? b ? 0.00...012508 ? 0.00...012508 ????? ???2000 位 1996个 0a ? b ? 0.00...12492 ? 0.00...012492 ? ?? ? ? ???2000位 1996个 0a ? b ? 0.00...01 ? ? ?3995位4a―b，方法与 a＋b 一样，数位对齐，还要注意退位和补零.因为a ? 0.00...0125，b ? 0.00...08 ? ?? ? ? ? ? ?1998位 2000位由 192，所以a ? b ? 0.00...12492 ? 0.00...012492 ? ?? ? ? ???2000位 1996个0a× b，a× 的小数点后面应该有
位，但 125× b 8=1000，所以： a ? b ? 0.00...01 ? ? ?3995位a÷ b，将 a、b 同时扩大 100...0 倍，得到： a ? b ? 12500 ? 8 ? 1562.5 . ?2000个0周期性数字 周期性数字就是由相同的数字重复写几遍而来，这些数字可以利用规律来巧妙分解 如：000+123=123× × × 1001001 由此我们可以巧妙的发现上面数字其实就是看有几个周期， 这样原来的数就可以分解成一个周 期数乘以 1001001 这种类型的数，0 的个数就是每个周期内的数字个数减一. 也可以这样理解，其实就是在每个周期数最后一位下填 1，然后看 1 的中间隔几个数就填几个 0. 如：6× 10001【例9】计算 2005× 6× 分析：原式=2005× 2006× × 2005× 10001 =0 【巩固】计算：1997×
分析：原式=1997× 2000× × 1997× 10001=0 .【例10】 （希望杯数学邀请赛培训题）计算 2006× 5× 分析：发现后面周期性数字都多 1，这样先转化成周期性数字. 原式=2006× （）-2005× （） =2006× 6-2005× 5 =4011 【巩固】 （05 我爱数学夏令营）计算：333× 332 332 333 C 332 × 333 333 332 分析：原式=333× （332 332 332+1）-332× （333 333 333 -1） =333× （1001001× 332+1）-332× （333× ） =333+332 =6655【拓展】 （04 全国小学奥林匹克）计算：55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 C 155 555 分析：原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555 =（55 555+44 445）× 666 666-100 000 = 66 666 500 000 从简单情况找规律【例11】 计算： 99....9 ? 99....9 ? ?6个9分析：从简单情况入手找规律. 9× 9=81 ； 99 × 99 =98016个9 2005个9；999 × 999 =998001 ，……2005个0所以： 99....9 ? 99....9 = 99...9800...01 . ? ? ? ?【巩固】计算： 33....3 ?1 3...3 2 ? ?6个3分析：3× 132=396 ；33×
；333× 6 ，…… 所以： 33....3 ?1 3...3 2 = 44...43955...56 . ? ? ? ?6个3 2005个 2005个【例12】 计算： 88....8 ? 33...3 ? ?7个3分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来，88....8 ? 99...9 ? 88...8711...12 ，原式可将上式除以 3 即可得到，296296...296 ...037 04 ，学 ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?7个9 6个1668个296 668个037生平时做题时注意对典型例题的记忆.【例13】 求 3 ? 33 ? 333 ? ... ? 33...3 的末三位数字. ?2007 个3分析：原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有 2007 个 3，2006 个 30，2005 个 300 ， 则 2007× 3+2006× 30+2005× 300=+701 ，原式末三位数字为 701 . 附加题目 【附 1】 （走进美妙数学花园）若 A=1921，B=1949，C=1976，D=2004， 求： （A+B+C-D）+（A+B+D-C）+（A+C+D-B）+（B+C+D-A）的值. 分析：原式=（A+B+C+D）× = （76+2004）× =15700 . 2 2 【附 2】 （04 全国小学奥林匹克）1.52+2.469× 0.76556分析：1.5× （0.）=1.5× （1.235+2） =1.2345× （1.5）+0.7655× 2=2× 2=4 【附 3】计算：63÷ 51÷ 64÷ 34× 72× 36 分析：原式=63× 64÷ 72÷ 51× 34÷ 36=（9× 3× 2× 8）÷ 7× 17× 4× （17× 8× 4× 2× 9× 9）=7/3 【附 4】765× 213÷ 27+765× 327÷ 27 分析：原式=765÷ （213+327）=765÷ 540=765× 27× 27× 540÷ 27=765× 20=15300 【附 5】2828÷ 28+34965÷ 35 分析：原式=2828÷ 7+34965÷ 7=707÷ 4÷ 5÷ 7+6993÷ 7=7700÷ 7=1100 【附 6】计算： （4.66）÷ （2.33） 分析：原式=2× （2.33）÷ （2.33）=2 . 【附 7】计算：9039030÷ 43043 分析：原式=903× 10010÷ （43× 1001）=903÷ 10010÷ 43×
【附 8】计算： （747× 127+492）÷ （746× 128-127） 分析：原式=（746× 127+127+492）÷ （746× 127+746-127）=（746× 127+619）÷ （746× 127+619）=1 练习一 1. （希望杯数学邀请赛决赛）计算 2.005× 390+20.05× 41＋200.5× 2 分析：原式 =2.005× 390+ 2.005× 410＋2.005× 200=2.005× （390＋410＋200）=2.005× 2. （05 南京市少年数学智力冬令营）计算：3.142+68.6× 1.314 分析：原式 = 3.142+68.6× 1.314 = 3.142+68.6× （1+0.314）= 3.14× 3.14+68.6+68.6× 0.314 =68.6+3.14× （3.14+6.86）= 100 .3.计算 4.83× 0.59＋0.41× 1.59－0.324× 5.9分析：原式=4.83× 0.59－3.24× 0.59＋0.41× 1.59=(4.83―3.24)× 0.59＋0.41× 1.59 =1.59× 0.59＋0.41× 1.59=1.594.计算：3.42× 76.3+7.63× 57.6+9.18× 23.7分析：原式=76.3× （3.42+5.76）+9.18× 23.7=76.3× 9.18+9.18× 23.7=9185.计算：9966× 6+6678× 18分析：原式=3322× 6+6678× 3× 18=（）× 18=18000076.计算（2× 5× 11× 17× 3× 7× 13× 19）÷ （38× 65× 51× 77）分析：原式=17．9× 17+91÷ 17-5× 17+45÷ 17分析：原式=（9-5）× 17+（91+45）÷ 17=68+8=768.（05 陈省身杯数学邀请赛）计算：2004× 2× 分析：原式=（2002+2）× 2× （）=2× （2）=40 060 000 .9． 求 1 ? 11 ? 111 ? ... ? 11...1 的末四位数. ?100个1分析： 原式的末四位有 100 个 1，99 个 10， 个 100，97 个 0+=107890 ， 98 原式的末四位为 7890 . 课外故事 成功就是将简单的事情重复做 那天，会场座无虚席，人们在热切地、焦急地等待着，那位当代最伟大的推销员，做精彩的演 讲。 当大幕徐徐拉开， 舞台的正中央吊着一个巨大的铁球。 为了这个铁球， 台上搭起了高大的铁架。 一位老者在人们热烈的掌声中，走了出来，站在铁架的一边。他穿着一件红色的运动服，脚下是一 双白色胶鞋人们惊奇地望着他，不知道他要做出什么举动。这时两位工作人员，抬着一个大铁锤， 放在老者的面前。主持人这时对观众讲：请两位身体强壮的人，到台上来。好多年轻人站起来，转 眼间已有两名动作快的跑到台上。老人这时开口和他们讲规则，请他们用这个大铁锤，去敲打那个 吊着的铁球，直到把它荡起来。一个年轻人抢着拿起铁锤，拉开架势，抡起大锤，全力向那吊着的 铁球砸去，一声震耳的响声，那吊球动也没动。他就用大铁锤接二连三地砸向吊球，很快他就气喘 吁吁.另一个人也不示弱，接过大铁锤把吊球打得叮当响，可是铁球仍旧一动不动。台下逐渐没了 呐喊声，观众好像认定那是没用的，就等着老人做出什么解释。会场恢复了平静，老人从上衣口袋 里掏出一个小锤，然后认真地，面对着那个巨大的铁球。他用小锤对着铁球D咚‖敲了一下，然后停 顿一下，再一次用小锤D咚‖敲了一下。人们奇怪地看着，老人就那样D咚‖敲一下，然后停顿一下， 就这样持续地做。十分钟过去了，二十分钟过去了，会场早已开始骚动，有的人干脆叫骂起来，人 们用各种声音和动作发泄着他们的不满。 老人仍然一小锤一停地工作着， 他好像根本没有听见人们 在喊叫什么。人们开始忿然离去，会场上出现了大块大块的空缺。留下来的人们好像也喊累了，会8场渐渐地安静下来大概在老人进行到四十分钟的时候，坐在前面的一个妇女突然尖叫一声：D球动 了！‖刹时间会场立即鸦雀无声，人们聚精会神地看着那个铁球。那球以很小的摆度动了起来，不 仔细看很难察觉。老人仍旧一小锤一小锤地敲着，人们好像都听到了那小锤敲打吊球的声响。吊球 在老人一锤一锤的敲打中越荡越高，它拉动着那个铁架子D哐、哐‖作响，它的巨大威力强烈地震撼 着在场的每一个人。终于场上爆发出一阵阵热烈的掌声，在掌声中，老人转过身来，慢慢地把那把 小锤揣进兜里。老人开口讲话了，他只说了一句话：在成功的道路上，你没有耐心去等待成功的到 来，那么，你只好用一生的耐心去面对失败。第二讲周期性问题主张教师在条件允许的范围之内，尽量将题目的缘由讲解给学生，这样有利于学生D举一反三‖，逐 渐帮助学生拥有研究问题、发现问题的能力. 基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续 两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为 365 天，闰年为 366 天. 在公历纪年中， 平年的二月为 28 天，闰年的二月为 29 天. 闰年的 2 月 29 日为闰日. 一般的,能被 4 整除的年份是闰年,不能被 4 整除的年份是平年.如:1988 年 2008 年是闰年;2005 年 2006 年 2007 年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被 400 整除才是闰年,否则就 是平年.如:2000 年就是闰年,1900 年就是平年. 【复习 1】 （华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式 1998÷ 8991 的除数和被除数中各划去两个数 字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第 1998 位数字是多少?分析:除数划去两个数字最小是 18, 被除数划去两个数字最大是 99 , 18’99=0.1818……,1998’2 正好 整除,所以小数点后面 1998 位是 8. 【复习 2】 （05 福建迎春杯）有一串数列，第一个数是 8，以后每个数的规律为：如果前一个数是 奇数，就将它减去 1 以后再乘以 3；如果前一个数是偶数，就将它除以 2 以后再加上 2，那么这串 数列的第 102 个数是多少？ 分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、…… ，每四个数一循环：102’4=25…2， 所以第 102 个数是 6 . 【复习 3】有一列数：2、、2、996、994、…从第三个数起，每一个数都是它前面两个 数中大数减小数的差，那么在这列数中第 188 个数是几？9分析：我们把这个数列延伸一下：2、、2、996、994、2、992、990、2、988、986、…，3 间隔两项出现，大数（非 3 的数）以 2 为公差减小，如上下划线所示，每三个一组，每组第二个 数字差为 4，188’3=62……2 ，所以第 188 个数是第 63 组的第 2 个数，为：1000-（63-1）× 4=752.【例1】除 0 外的全体自然数如右表排列，请问（1）数 43 在哪个字母下面? （2）数 47 在哪个字母下面? （3）数 56 在哪个字母下面?分析： （1）43’8=5…3，所以它在 3 的下面，也就 是说在 C 的下面； （2）47’8=5…7，所以它在 7 的下面，也就是说在 E 的下面； （3）56=7× 8，所 以它在 8 的下面，也就是说在 D 的下面。【例2】（小数报数学竞赛初赛）右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891，那么 B 代表多少？分析：根据D任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891‖，可知任意一个小圆圈中的数和与 它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的. 于是：B=891÷ 9)=11. (9×【巩固】有一个十一位数，已知它的首位数字为 9，末尾数字为 8，且三个相邻的数字之和是 24， 则第 5 个数字是几？ 这个数是多少？ 9 ? 8分析：三个相邻的数字之和是 24，说明第二、三个数字为 24－9=15，即第四个数字为 9，以此类 推： 9 9 ? 9 9 8再从后往前，即可完成 9 8 7 9 ?8 7 9 8 7 9 8可以增加一个格，要不从右边开始数，隔 2 个数就相等，马上就能数出来！【例3】（05 希望杯邀请赛）将 100 个小球放入依次排列的 36 个盒子中．如果任意相邻的 5 个盒子中的小球总数均为 14，且第 1 个盒中有 2 个小球．求第 36 个盒子中小球的个数． 分析：将 36 个盒子依次编号为 1，2，3，…，36．由于任意相邻的 5 个盒子中的小球总数相等，10所以 1 到 5 号盒子中小球总数与 2 到 6 号盒子中小球总数相等． 又因为它们均含有 2 号、3 号、4 号和 5 号盒子，所以 1 号盒子与 6 号盒子中所含小球数相同． 同理，由 6 到 10 号盒子中小球总数与 7 到 11 号盒子中小球总数相等，可推得 6 号盒子与 11 号盒子中所含小球数相同． 按照此规律可知：1 号盒子、6 号盒子、11 号盒子、16 号盒子、21 号盒子、26 号盒子、31 号 盒子和 36 号盒子中小球的个数相同． 末尾数字的规律【例4】算式 123 ?123 ? ... ?123 的得数的尾数是几？ ??????? ? ?分析：我们只需要看个位就行了,3 的个位是 3,3× 个位是 9,3× 3 个位是 7,3× 3× 个位是 3 3× 3× 3 1,3× 3× 3 个位是 3,我们发现四次一循环,……2,所以算式 123×123×123×……×123 的 3× 3× 得数的尾数是 9 【拓展】an 的个位数字的变化规律，如下表：从总体而言，可以总结成：D4 个一循环‖【巩固】求 67999 的个位数字. 分析：因为 67 的个位数是 7，所以 67n 的个位数随着 n 的增大，按 7，9，3，1 四个数的顺序循环 出现. 999÷ 4＝249……3，所以 67999 的个位数字与 73 的个位数字相同，即 67999 的个位数字是 3。【例5】求 2 的个位数字.分析：由 128÷ 4＝32 知，28128 的个位数与 84 的个位数相同，等于 6。由 29÷ 2＝14……1 知，2929 的个位数与 91 的个位数相同，等于 9.因为 6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 16 －9＝7. 【拓展】算式（762）× 123 的得数的尾数是几？ 12311分析：这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了： 7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是 3 ； 2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是 4 ； 3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是 7 ； 因此个位数： （3+4）× 7=49 . 圆圈上的数学游戏【例6】（希望杯数学邀请赛决赛）如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是 1 米，A、B、C 三点周围的阴影部分是圆 形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在 0 号位，过 了一会儿，它跃过水洼，飞到关于 A 点对称的 1 号位；不久，它又飞 到关于 B 点对称的 2 号位；接着，它飞到关于 C 点对称的 3 号位，再 飞到关于 A 点对称的 4 号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004 号位和 0 号 位之间的距离是多少米？ 分析：到 5 号位后回到 0 号位，因此每六个数为一个周期，所以 2004 号和 0 号在同一位Z，它们 的距离是 0 米.【例7】（迎春杯刊赛）如右图，有 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上从 1 到 16 的号码.现在有一人从第 1 号椅子顺时针前进 328 个，再逆时 针前进 485 个，又顺时针前进 328 个，再逆时针前进 485 个，又顺时针 前进 136 个，这时他到了第几号椅子？ 分析：这个人顺时针前进了 328+328+136=792 个位Z，由于 792’16=49…8，所以他走到 9 号位Z. 又这个人逆时针共退回 485+485=970 个位Z， 由于 970÷ 16＝60…10， 因此这个人到了第 15(=9+16-10) 号椅子. 【巩固】 （华杯赛复赛）电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在， 一只红跳蚤从标有数字D0‖的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里.一 只黑跳蚤也从标有数字D0‖的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落 在另一个圆圈里.问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？ 分析：电子跳蚤每跳 12 步就回到了原来位Z，由于 × 12+11 ，所以红跳蚤从标有数字D0‖ 的圆圈出发，按顺时针方向跳了 1991 步时，跳到了标有数字D1l‖的圆圈.同理，由 × 12+5， 知道黑跳蚤从标有数字D0‖的圆圈按逆时针方向跳了 162 个 12 步后跳到了标有数字D7‖的圆圈.于是 所求的乘积是 11× 7=77.12【例8】如右图，把 1～8 八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1 号开始按顺时针方向前进 329 个位Z，第二天接着按逆时针方向前进 485 个 位Z，第三天又顺时针前进 329 个位Z，第四天再逆时针前进 485 个位Z…… 如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的 1 号位Z？分析：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一 个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进 485-329=156（个）位Z. 156’8=19……4，就是说，每个周期 天） 小球是逆旋转了 19 周后再逆时针前进 4 个位Z. 要使小球回到原来的 1 号位， （2 中， 至少应逆时针前进 8 个位Z. 8÷ 4=2（个）周期，2× 2=4（天） ，所以至少要用 4 天，小球才又回到 原来D1‖号位Z.【例9】（1）时针如果指在 5，那么分针旋转转动 2008 周后，钟表显示的时间是几时？（2）时钟在下午的时候指在 5，那么分针旋转转动 2008 周后，钟表显示的时间是几时？ 分析： …4， （1） 5+4=9 时； …16， （2） 下午 5 时即 17 时， 所以 17+16-24=9， 钟表显示的时间是上午 9 时. 我来找找星期几【例10】 （美国小学数学奥林匹克）一月份有三十一天，如果某年的 1 月 1 日星期一，这年的 2月 22 日是星期几? 分析：从 1 月 1 日到 2 月 22 日共经过 30+22=52 天（我们在计算经过多少天数时，都统一算尾不 算头，也就是将明天看作D第一天‖） ，52’7=7……3，周一往后数三天就是周四，所以 2 月 22 日是 星期四. 【拓展】 （美国长岛小学数学竞赛）今天是星期二，从今天算起，第 100 天是星期几? 分析：100’7=14……2，因为是从D今天‖算做第一天，所以第 100 天是星期三 .【例11】 （国家公务员考试题改编）1999 年的元旦是星期五，那么据此你知道 2005 年的元旦是星期几吗？ 分析： 00、 是闰年， 04 99、 01、 02、 是平年， 03 一共度过了： 365× 6＋2=2192 （天） …1， ， 2005 年的元旦是星期六. 【巩固】我国 1997 年 7 月 1 日收回香港的主权，这天正好是星期二.到今年 7 月 1 日十周年庆祝时 是星期几？ 分析：98、99、01、02、03、05、06、07 年是平年，00、04 是闰年，从 1997 年 7 月 1 日到 2007 年 7 月 1 日，一共度过了：365× 10＋2=3652（天） 天一个周期，……5，所以 2007 ，7 年 7 月 1 日是星期日 .13【巩固】1991 年 2 月 1 日是星期五，那么 2000 年的 2 月 1 日是星期几？ 分析：在 92、93、94、95、96、97、98、99、2000 年中 92、96、2000 是闰年，但 2000 年中的闰 日并不包含在内，所以从 1991 年 2 月 1 日到 2000 年 2 月 1 日共经过了：365× 9+2=3287， ……4，所以 2000 年的 2 月 1 日是星期二.【例12】 （06 年华罗庚金杯）奶奶告诉小明：D2006 年共有 53 个星期日．‖聪明的小明立刻告诉奶奶：2007 年的元旦一定是星期（ ）. 分析：2006 年有 365 天，而 365=7× 52+1．又已知 2006 年有 53 个星期日，只能元旦是星期日，且 12 月 31 日也是星期日．所以 2007 年的元旦是星期一. 【巩固】 （香港圣公会奥林匹克）一个月最多有 5 个星期日，在一年的 12 个月中，有 5 个星期日的 月份最多有几个月? 分析：1 月 1 日是星期日，全年就有 53 个星期日。每月至少有 4 个星期日，53-4× 12=5，多出 5 个 星期日，在 5 个月中．即最多有 5 个月有 5 个星期日．【例13】 某年的 10 月有 5 个星期六，4 个星期日，问这一年的十月一日是星期几？分析：星期六后面必有星期日，所以 10 月 31 号是星期六，30’7=4……2，往前数 2 天是周四. 【巩固】1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五，1993 年 1 月 4 日是星期______. 分析：由已知，1 号是星期五，因此 1993 年 1 月 4 日是星期一. 附加题目 【附 1】实验室里有一个计数器，一圈一共 24 个格，按照顺时针顺序标 了 0～23 这 24 个数.每经过 8 分钟，指针就会顺时针方向跳一次；每跳一 次，就要跳过 7 格.今天晚上十一点的时候，指针正好从 3 跳到 10，那么 明天早上 9 点 23 分的时候，指针指着的数是几？ 分析：从晚上 11 点到早上 9 点 23 分的时候，共经过了 623 分钟， 623’8=77…7， 指针跳过：77× 7=539（格） ，539’24=22…11，所以相当于从 10 顺时针跳 11 格，是 21 格. 【附 2】 （01 明心杯数学挑战赛）如右图，电子跳蚤游戏盘为△ ABC， AB=8， AC=9， BC=10． 如果电子跳蚤开始时在 BC 边上的 Po 点， o=4． BP 第一步跳蚤跳到 AC 边上 P1 点，且 CP1=CPo； 第二步跳蚤从 P1 跳到 AB 边上 P2 点，且 AP2=AP1； 第三步跳蚤从 P2 跳回到 BC 边上 P3 点，且 BP3=BP2； 跳蚤按上述规则跳下去，第 2001 次落点为 P2001，请计算 Po 与 P2001 之间的距离．14分析：因为 BP0=4，所以 CP0=10-4=6． 第一步：从 P0→P1，CP1=CP0=6，所以 AP1=9-6=3； 第二步：从 P1→P2 ，AP2=AP1=3，所以 BP2=8-3=5； 第三步：从 P2→P3 ，BP3=BP2=5，所以 CP3=10-5=5； 第四步：从 P3 →P4 ，CP4=CP3=5，所以 AP4=9-5=4； 第五步：从 P4→P5 ，AP5=AP4=4，所以 BP5=8-4=4； 第六步：从 P5→P6 ，BP6=BP5=4． 可以看出，P6 与 P0 点重合，而 2001=6× 333+3，故 P2001 点与 P3 点重合. P0 与 P2001 之间的距离 就是 P0 与 P3 之间的距离，等于：BP3 一 BP0=5-4=1． 【附 3】 （05 香港圣公会奥林匹克）某月有 31 天，有 4 个星期一和 4 个星期四，那么这个月的 20 日是星期几？ 分析：4 个星期一和 4 个星期四，意味着有 4 个周一、二、三、四，31－4× 4=15，即星期五、星期 六、星期日各有 5 个，1 日、2 日、3 日是星期五、星期六、星期日，因此 20 日是星期三.【附 4】 （迎春杯刊赛）甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.甲第一次取奶是星期 一，那么甲第 100 次取奶是星期( ).分析：甲第 100 次取奶，意味着甲、乙、丙三名学生已经都取过 99 次，所以甲的第 100 次，在总 的次数中是第 99× 3+1=298，过了 297 次，297’7=42……3，所以是星期四. 【附 5】(华罗庚学校五年级入学考试试题)甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义 诊.甲第 30 次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？ 分析：甲第 30 次义诊是在总次数的第 4× 29+1=117（次） ，117’7=16……5，从星期三往前数 5 天， 由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前 7 次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第 6 次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，他已 经去过 5 次. 【附 6】 年华罗庚金杯） （05 从冬至之日起每九天分为一段， 依次称之为一九， 二九， 九九． …， 2004 年的冬至为 12 月 21 日，2005 年的立春是 2 月 4 日．问：立春之日是几九的第几天?； 分析：从 2004 年 12 月 21 日到 2005 年 2 月 4 日共计有 11+31+4=46(天)，46=5× 9+1，所以立春之 日是六九的第一天．故民间有D春打六九头‖之俗语． 【附 7】 （保良局亚洲区城市数学竞赛）每一年至少有一次星期五是某月的 13 日，但出现的次数不 会超过三次.1998 年正好有三次，分别在二月、三月和十一月．请问：下一次刚好又有三个月的 13 日是星期五的是公元哪一年?15分析：365=52× 7+l，则平年 52 周多 1 天，闰年 52 周多 2 天． 年之间有三个闰年，共 多 14 天(即 2 周)，所以，2009 年 2 月、3 月、11 月的 13 日又均在星期五． 【附 8】如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列. （1） 第 99 行右边第一个数是几？ （2） 2006 出现在第几行，第几列？ 分析： （1）每 7 个数，分成两行一个周期，99’2=49……1，相当于 49 个周 期多一行，也就是 50 个周期第一行。第 98 行中最大的那个数为： （49× 7-1）× 2=684 或者总共是 7× 49=343 个数，所以 342× 2=684，所以第 99 行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第 99 行 右边第一个数是 690 . （2）2006÷ 2+1=’7=143……3，所以在第 287 行，第 5 列. 练习二 1． （小学数学奥林匹克初赛）如果时钟现在表示的时间是 18 点整，那么分针旋转 1990 圈之后是几 点钟？分析：……22，18+22-24=16，于是分针旋转 1990 圈后是 16 点钟. 2．除 0 外的自然数都按右表排列，问： （1）21 排在第几列的下面? （2）32 排在第几列的下面? （3）54 排在第几列的下面? 分析：我们可以把 7 个看成一组 （1）21=3× ，所以 21 在 7 的下面，所以在第二列； 7 （2）32’7=4…4，所以 32 在 4 的下面，所以在第七列； （3）54’7=7…5，所以 54 在 5 的下面，所以在第六列。 3．2008 个数排成一排，其中任意五个相邻数之和都是 2008，已知第 1 个数是 1，第 9 个数是 9， 第 90 个数是 9，第 102 个数是 3，那么第 2008 个数是 ；分析：根据题意可知，5 个数一循环，前 5 个数分别为：1、3、 ，…3，所 以第 2008 个数是 1986 . 4．求 291+3291 的个位数字。 分析：因为 2n 的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，91÷ 4＝22……3，所以，291 的个 位数字与 23 的个位数字相同，等于 8. 类似地，3n 的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现：291÷ 4＝72……3，所以 3291 与 33 的 个位数相同，等于 7.最后得到 291+3291 的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5.165． （迎春杯刊赛）元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期_______. 分析：平年元旦到国庆节经过 273 天.由于 273÷ 7=39，故平年的国庆节是周日； 闰年元旦到国庆节经过 274 天，由于 274’7=39…1，故闰年的国庆节是星期一. 6． （迎春杯刊赛）阳历 1978 年 1 月 1 日是星期日，那么阳历 2000 年的 1 月 1 日是星期_______. 分析： 1978 年 1 月 1 日到 2000 年 1 月 1 日经过 22 年.这个期间内 1980、 从 1984、 1988、 1992、 1996 是闰年，其余年份是平年.于是这 22 年的总天数：365× 22+5=8035.这样，问题转化为求 8035 被 7 除所得的余数.7…6，公元 2000 年 1 月 1 日是星期六. 课外故事 永远看得起自己 有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个 小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着. 最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论 如何，这口井还是得填起来。于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛 苦. 农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中。当这头驴子了解到自己的处境时，刚开 始哭得很凄惨。 但出人意料的是， 一会儿之后这头驴子就安静下来了。 农夫好奇地探头往井底一看， 出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇── 它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！ 就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去。很快地，这只驴子 便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！第三讲行程问题行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、 追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等，思维灵活性大，辐射面广，但万变不离根本，就是 距离、速度、时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度× 时间 .在这三个量中，已知两个，可求 出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解. 解决行程问题时，画图分析是一个非常有效的方法，我们一定要养成画图解决问题的好习惯！ 【复习 1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米，两车在离中点 32 千米处相遇.求东、西两地间的距离是多少千米? 分析：画图分析.相遇时甲车比乙车多行：32× 2=64(千米)，甲车每小时比乙车多行：56-48=8(千米)， 甲、乙两车从同时出发到相遇要：64÷ 8=8(小时)，东、西两地间的距离是：(56+48)× 8=832(千米).17【复习 2】如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时 出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇。已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长. 分析：从 A 点出发到第一次相遇，两人共走了 0.5 圈；从 A 点出发到第二 次相遇，两人共走了 1.5 圈。因为 1.5÷ 0.5＝3，所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的 3 倍， 即弧 ACD=AC× 3=240（米） ，则弧 AB=240―BD=180（米） ，圆周长为 180× 2=360（米） 【复习 3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两 人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相 遇？ 分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或 相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度. 环形道一周的长度：（250-200）× 45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷ （250+200）=5（分 钟）.【例1】汽车往返于 A，B 两地，去时速度为 40 千米／时，要想来回的平均速度为 48 千米／时，回来时的速度应为多少？ 分析：假设 AB 两地之间的距离为 480÷ 2=240 千米，那么总时间=480÷ 48=10（小时） ，回来时的速 度=240÷ （10-240÷ 40）=60（千米/时）. 【前铺】汽车上山以 30 千米／时的速度，到达山顶后立即以 60 千米／时的速度下山.求该车的平 均速度. 分析： 注意平均速度=总路程÷ 总时间， 我们可以把上山的路程看作D1‖， 那么就有： 1+1） （ ÷ （1 1 ） ? 30 60=40（千米／时） ，在这里我们使用的是特殊值代入法，当然可以选择其他方便计算的数值，比如 上山路程可以看作 60 千米， 总时间= （60÷ + 30）（60÷ =3， 60） 总路程=60× 2=120， 平均速度=120÷ 3=40 （千米/时）.【例2】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A 点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行 50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多 少厘米？ 分析： 假设每条边长为 200 厘米， 则总时间=200÷ 50+200÷ 20+200÷ 40=4+10+5=19 （分钟） ，爬行一周的平均速度=200× 19= 31 3÷11 （厘米/分钟）. 19老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右图） ，车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是 22.5 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千18米／时. 已知下山路是上山路的 2 倍，从 A 到 D 全程为 72 千米，老王开车从 A 到 D 共需要多少 时间？ 分析：设上山路为 x 千米，下山路为 2x 千米，则上下山的平均速度是： （x+2x）÷ （x÷ 22.5+2x÷ 36） =30（千米/时） ，正好是平地的速度，所以行 AD 总路程的平均速度就是 30 千米/时，与平地路程 的长短无关.因此共需要 72÷ 30＝2.4（时）.【例3】小明放学后， 沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家， 该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔 9 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 7 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍? 分析： 假设小明在路上向前行走了 63（7、9 的最小公倍数）分钟后，立即回头再走 63 分钟，回 到原地.这时在前 63 分钟他迎面遇到 63÷ 7=9（辆）车，后 63 分钟有 63÷ 9=7（辆）车追上他，那么 在两个 63 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 16 辆车，所以发车的时间间隔为：63× （9+7）= 7 2÷ （分）. 公共汽车的发车时间以及速度都是不变的， 所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔 9 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：间隔=9× （车速-步速） ；每隔 7 分钟就遇到 迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=7× （车速+步速） ，所以 9× （车速-步速）=7× （车 速+步速） ，化简可得：车速=8 倍的步速. 【巩固】 小红放学后沿着公共汽车的线路以 4 千米／时的速度往家走， 一边走一边数来往的公共汽 车. 到家时迎面来的公共汽车数了 11 辆， 后面追过的公共汽车数了 9 辆. 如果公共汽车按相等的时 间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少? 分析：我们可以假设小红放学走到家共用 99 分钟，那么条件就可以转化为：D每隔 9 分钟就有辆公 共汽车迎面开来，每隔 11 分钟就有辆公共汽车从后面超过他‖. 根据汽车间隔一定，可得：间隔=11× （车速-步速）=9× （车速+步速） ，化简可得：车速=10 倍的步 速.所以车速为 40 千米/时.【例4】7 8一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站， 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站， 全程要走 15 分钟. 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站. 他出发的时候， 恰好有 一辆电车到达乙站. 在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从 甲站开出. 问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 分析： 骑车人一共看到 12 辆车， 他出发时看到的是 15 分钟前发的车， 此时第 4 辆车正从甲发出. 骑 车中，甲站发出第 4 到第 12 辆车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 5× 8=40（分钟）.19猎狗追兔 一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子， 已知狗一跳前进 3 米， 兔子一跳前进 2.1 米，狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次。问： 兔子跑出多远将被猎狗追上？ 分析：在一个单位时间里，狗跑 3× 3＝9（米） ，兔子跑 4× 2.1＝8.4（米） ， 所以兔子跑的距离为：[20÷ （9-8.4）]× 8.4=280（米）.【例5】猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑 8 步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步? 分析： D猎狗前面 26 步……‖显然指的是猎狗的 26 步。 因为题目中出现D兔跑 8 步的时间……‖和D兔 跑 9 步的距离……‖，8 与 9 的最小公倍数是 72，所以可以统一在D兔跑 72 步‖这个情况下考虑. 兔跑 72 步的时间狗跑 45 步，兔跑 72 步的距离等于狗跑 32 步距离，所以在兔跑 72 步的时间 里，狗比兔多跑了 45―32=13(步)的路程，这个 13 步是猎狗的 13 步. 由此推知，要追上 26(狗)步， 兔跑了 72× (26÷ 13)=144(步)，此时猎狗跑了 5× (144÷ 8)=90(步). 【巩固】野兔逃出 80 步后猎狗才开始追，野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间 猎狗只能跑 5 步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔? 分析： D野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步， 野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步.‖讲条件转化为： D野 兔跑 35 步的路程猎狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的时间猎狗只能跑 15 步.‖在猎狗跑 15 步的时间 内，猎狗比野兔多跑 35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15× （80÷ 8）=150（步）.【例6】猎狗追赶前方 15 米处的野兔.猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步， 猎狗跑 4 步的距离野兔要跑7 步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔? 分析：D猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步.‖将条件转化为：D猎狗跑 12 步的时间野兔跑 20 步，猎狗跑 12 步的距离野兔要跑 21 步.‖我们也就可以这样认为：在一个单 位时间内（猎狗跑 12 步的时间） ，猎狗跑了野兔的 21 步，野兔跑了 20 步，速度差为野兔的 1 步. 追击时间=15÷ 野兔的 1 步，所以猎狗追击的距离=（15÷ 野兔的 1 步）× 野兔的 21 步=315（米）.【例7】狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬. 一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑 568 步.如果狼跑 9 步的时间狗跑 7 步，狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离，那么从它们同时 奔向对方到相遇，狗跑了多少步?狼跑了多少步? 分析：由题目条件知，狼跑 45 步的时间狗跑 35 步，狼跑 45 步的距离等于狗跑 36 步的距离，也就 是说， 在相同的时间里， 狼跑狗的 36 部， 狗跑 35 步.所以相遇时， 狼跑了：568 ? 狗跑了：288÷ 7=224（步）. 9×36 ， ? 288（步） 36 ? 3520多人行程【例8】东、西两城相距 75 千米．小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行 15 千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即 折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑．这样往返，直到三人在途中相 遇为止．问小辉共走了多少米? 分析：在这一过程中，小辉始终在小强与小明之间往返．对于确定小辉与小强或小明的每一次相遇 时间和地点，是十分繁琐并且不必要的．事实上，小辉一直在以每小时 15 千米的速度骑行．为求 出他所骑的路程， 只需要求出从开始到最终相遇的时间． 而这个时间只要由小强和小明的速度就可 以计算．从开始到相遇的时间为：75÷ (6.5+6)=6 小时．6 小时内小辉一共骑了 15× 6=90 千米．【例9】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米．出发后，甲和乙相遇后 3 分 钟和丙相遇．这花圃的周长是多少米? 分析：由已知可知，甲先与乙相遇．在甲乙相遇这段时间里，乙丙所行的路程差正是甲丙在 3 分钟 内相向而行的路程之和：(40+36)× 3=228(米)．从出发到甲乙相遇所用时间为 228÷ (38-36)=114(分 钟)．所以，花圃的周长为(40+38)× 114=8892(米)． 【前铺】甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米.甲、乙两人从 A 地，丙一人从 B 地同时相向出发，丙遇到乙后 2 分钟又遇到甲，A、B 两地相距多少米？分析：线段示意图如右：当乙和丙相遇时，乙和 甲相距：(70+50)× 2=240(米)，从 3 人同时出发到 乙、丙相遇经过：240÷ (60-50)=24(分)，A、B 两 地相距： （60+70）× 24=130× 24=3120(米). 附加题目 【附 1】某司机开车从 A 城到 B 城. 若按原定速度前进，则可准时到达. 当路程走了一半时，司机 发现前一半行程中，实际平均速度只达到原定速度的 半的行程中，实际平均速度是原定速度的多少倍？ 分析：前一半路程用去原定时间的 度是原定速度的11 倍. 9 13 13 9 ，后一半路程就用去原定时间的 2- = ，所以实际平均速 11 11 11 11 ，如果司机想准时到达 B 城，那么在后一 13【附 2】甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一 半时间平均每分钟行 70 米.问他走后一半路程用了多少分钟？21分析： （法１）全程的平均速度是每分钟（80+70）÷ 2=75 米，走完全程的时间是
分钟， 走前一半路程速度一定是 80 米，时间是 3000÷ 80=37.5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟 （法 2） 设走一半路程时间是 x 分钟， 80x+70x=6× 则 1000， 解方程得： x=40 分钟， 因为 80× 40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3000÷ 80=37.5 分钟，后一 半路程时间是 40+（40-37.5）=42.5 分钟 【附 3】一只快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这 3 辆车 分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人. 现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？1 分析： 法 1） （ 快车 6 分钟行 24× 1000× 60=2400 米） 中车 10 分钟行 20× 6÷ （ ， 1000× 60= 3333 （米） 10÷ ， 3 1 700 骑车人速度每分钟行（ ）÷ （10-6）= （米） 3 3 700 700 × 6+ × 12=3800（米） ，每小时行 3800÷ 60=19000（米）=19（千米） 12× 3 3慢车 12 分钟行 2400-（法 2）6 分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差 6× （24-20）÷ 60=0.4 千米，10 分钟时，中车 又开了 4× 60= 20÷ =4 4 14 千米，追上骑车人，说明骑车人 4 分钟骑了 -0.4= 千米，即骑车人速度 3 3 1514 60 ，因为快车用 6 分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人 6× ? =14（千米/小时） 15 4（24-14）÷ 60=1 千米，12 分钟时，骑车人离三车出发点 1+14× 60=3.8 千米，所以，慢车速度= 12÷ （3.8÷ 12）× 60=19 千米/小时.【附 4】设有甲、乙、丙 3 人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度 的 3 倍。现甲从 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A 地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙 骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己 改为步行，3 人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙 相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3 人仍按各自 原有方向继续前进。 问： 人之中谁最先达到自己的目 3 的地？谁最后到达目的地？ 分析： （法 1）: 如图，甲与丙在 M 点相遇，甲走了 AM，同时乙也走了同样距离 BN。当甲与乙在 P 点相22遇时， 乙一共走了 BP， 甲还要走 PB， 而丙只走了 MA。 所以 3 人步行的距离， 甲=AM+PB， 乙=BP， 丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到. （法 2） ：由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下 各人谁步行最长，谁步行最短. 将整个路程分成 4 份，甲丙最先相遇，丙骑行 3 份，步行 1 分；甲3 3 3 5 3 3 先步行了 1 份，然后骑车与乙相遇，骑行 2× = 份，总步行 4- = 份；乙步行 1+（2- ）= ， 4 2 2 2 2 2 3 5 骑行 4- = 份，所以，丙最先到，甲最后到. 2 2【附 5】甲、乙、丙、丁 4 人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点 78 米，乙距 起点 27 米，丙距起点 23 米，丁距起点 16 米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁 3 人距起点的距离之和． 分析：现在乙、丙、丁 3 人距起点的距离总和是 27+23+16=66 米，甲目前比它们的距离之和要多 78－66=12 米．此后甲每向前游 1 米，乙、丙、丁 3 人也都同时向前游了 1 米，那么甲距起点的距 离与那 3 人的距离总和之差就要减少 2 米．要使这个差为 0，甲应向前游了 12÷ 2=6 米． 练习三 1．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等. 某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为 4 米／秒、6 米／秒和 8 米／秒，求他过 桥的平均速度. 分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为 24 米，那么总时间=24÷ 4+24÷ 6+24÷ 8=6+4+3=13（秒） ， 过桥的平均速度=24× 13= 5 3÷7 （米/秒）. 13米时，2．小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔 12 分钟有一辆电车从后面超过 他，每隔 4 分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点站隔多少分钟 发一辆电车？ 分析： （法 1） ：[12，4]=12，12× （1+3）=6（分钟）. 2÷ （法 2） ：把电车的间隔距离看作 1，那么有：车速+人速=1 1 ，车速-人速= ， 4 121 1 1 1 所以车速= ( ? ) ? 2 ? ，发车间隔时间=1÷ =6（分钟）. 4 12 6 63．猎狗追赶前方 30 米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步，但是兔子动作快， 猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ 分析：猎狗跑 12 步的路程兔子要跑 21 步，猎狗跑 12 步的时间兔子要跑 16 步，在猎狗跑 12 步这 个单位时间内，两者的速度差为兔子的 5 步，所以猎狗追击距离为：30÷ 21=126（米）. 5×234．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米．现在甲从东村， 乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又与丙相遇．那么东、西两 村之间的距离是多少米? 分析：如右图，甲、乙两人在 C 地相遇，之后甲、丙在 E 地相遇， 此时乙已经走到 D 地．CD 是乙 6 分钟的路程，为 80× 6=480 米；EC 是甲 6 分钟的路程，为 100× 6=600 米．所以 ED=480+600=1080 米．这个长度就是从开始到甲、丙 相遇时乙、丙的距离差． 从开始到甲、丙相遇所经历的时间为：1080÷ (80-75)=216 分钟．也就是经过 216 分钟，甲、丙 从东、西两村出发相遇，所以东、西两村相距：(100+75)× 216=37800 米． 课外故事 一粒种子里有什么 在《平凡世界的卓越人生》一书中，牧师罗伯特? 舒勒写道：D多年来，我反复向听众宣讲： H? 任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果。‖ 作者舒勒先生的一名听众，农场主安斯利? 米勒对这句话深有体会，他给舒勒先生寄去了一封 夹有大豆种子的信。他在信里写道：D舒勒先生，那是 1977 年，我种的庄稼几乎颗粒无收，那年天 气特别糟糕，雨水太多。在 10 月的收获季节，我走在自家的地里，看着满目的稀稀落落的豆荚， 走上去一捏，大多数都是瘪的，我感到心灰意冷。就在那个时候，我猛然看见不远处有一株大豆特 别显眼。我走过去，小心翼翼地摘下上面全部的豆荚。一共有 202 个，一个个看上去都硕大饱满。 我把这些豆荚剥开，得到了 503 颗大豆。我把这些大豆带回家，整个冬天都放在一个平底罐里，让 它们风干。D第二年春天，那是对我有特殊意义的一个季节。我拿出那 503 颗大豆种子，撒在我家 屋后的一小块地里。 那年 10 月， 那块地让我收获了 32 磅的大豆！ 到了冬天， 我又把种子全部晾干。 D1979 年， 我把那 32 磅大豆尽数种在一英亩的田里。 那年 10 月， 我总共收获了 2409 磅大豆。 D1980 年的春天，我将大豆种在一块 69 英亩的田里，那是我全部的土地。就在那年 10 月，那块地大获丰 收，足足收获了 8 万多升大豆，卖了 1.5 万美元！D舒勒先生，一株大豆，202 个豆荚，503 粒大豆， 4 年以后变成了 1.5 万美元。还不错，不是吗？?任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只 有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果‘。一粒种子里面有多少个苹果？ 噢，我知道了，我明白了。瞧，我给你寄一粒我收获的种子。‖不要小瞧任何微小的可能和机 会，那里蕴藏着无限的希望和收获。24第四讲 基本的流水行船问题流水行船问题在行程问题的基础上，这一讲我们将研究流水行船的问题.船在江河里航行时，除了本身的前进速 度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流 水行船问题.另外一种与流水行船问题相类似的问题是D在风中跑步或行车‖的问题，其实处理方法 是和流水行船完全一致的. 行船问题是一类特殊的行程问题，它的特殊之处就是多了一个水流速度， 船速：在静水中行船，单位时间内所走的路程叫船速； 逆水速度：逆水上行的速度叫逆水速度； 顺水速度：顺水下行的速度叫顺水速度； 水速：船在水中不借助其他外力只借助水流力量单位时间所漂流的路程叫水流速度(以下简称 水速)， 顺水速度=船速+水速 ； 逆水速度=船速-水速 . 顺水行程=顺水速度× 顺水时间 逆水行程=逆水速度× 逆水时间 船速=（顺水速度+逆水速度）÷ ； 2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷ .（可理解为和差问题） 2【例1】甲、乙之间的水路是 234 千米，一只船从甲港到乙港需 9 小时，从乙港返回甲港需 13 小时，问船速和水速各为每小时多少千米？ 分析：从甲到乙顺水速度：234÷ 9＝26（千米/小时） ；从乙到甲逆水速度：234÷ 13＝18（千米/小时） ； 船速是： （26+18）÷ 2=22（千米/小时） ；水速是： （26-18）÷ 2＝4（千米/小时）. 【前铺】轮船在静水中的速度是每小时 21 千米，轮船自甲港逆水航行 8 小时到达相距 144 千米的 乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时? 分析：要求轮船从乙港返回甲港所需的时间，即轮船顺水航行 144 千米所需时间，就要求出顺水航 行的速度。现在知道轮船在静水中的速度，只需求出水流速度.根据已知，自甲港逆水航行 8 小时， 到达相距 144 千米的乙港，由此可求出轮船的逆水航行的速度.再根据逆水速度与船速、水速的关 系即可求出水速. 水流速度：21―144÷ 8=21―18=3(千米／小时)，顺水速度：2l+3=24(千米／小时)，乙港返回甲港所 需时间：144÷ 24=6(小时).25【巩固】甲、乙两港相距 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港， 逆水 13 小时到达．水流速度是多少? 分析：顺水速度=208÷ 8=26（千米／小时） ，逆水速度=208÷ 13=16（千米／小时） ，水速=（顺水速 度－逆水速度）÷ 2=（26－16）÷ 2=5（千米／小时） ．【例2】A、B 两港相距 560 千米，甲船往返两港需要 105 小时，逆流航行比顺流航行多了 35 小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的 2 倍，那么乙船往返两港需要多少小时？ 分析：先求出甲船往返航行的时间分别是： （105+35）÷ 2=70 小时， （105-35）÷ 2=35.再求出甲船逆 水速度每小时 560÷ 70=8 千米，顺水速度每小时 560÷ 35=16 千米，那么甲船在静水中的速度是每小 时（16+8）÷ 2=12 千米，水流的速度是每小时 12-8=4 千米，乙船在静水中的速度是每小时 12× 2=24 千米，所以乙船往返一次所需要的时间是 560÷ （24+4）+560÷ （24-4）=20+28=48 小时.【例3】甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时 3 千米，乙河水速为每小时 2 千米．一艘船沿甲河顺水航行 7 小时，行了 133 千米到达乙河，在乙河中还要逆水航行 84 千米，问：这艘船还要航行 几小时? 分析：船在甲河中的顺水速度为：133÷ 7=19(千米／小时)，船速=19-3=16(千米／小时)． 船在乙河中的逆水速度=船速一水速=16-2=14(千米/小时)， 逆水时间=逆水行程÷ 逆水速度=84÷ 14=6(小时)．【例4】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返回上行需要7 小时．求：这两个港口之间的距离． 分析：两港口间的距离=顺水速度× 顺水时间=(船速+水速)× 顺水时间=(船速+6)× ； 4 两港口间的距离=逆水速度× 逆水时间=(船速-6)× 7； 所以可得：(船速+6)× 4=(船速-6)× 7，解得：船速=22， 可得两港口间的距离为：(22+6)× 4=(22―6) × 7=112(千米)．【例5】某船从甲地顺流而下，5 天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了 7 天．问：水从甲地流到乙地用了多少时间? 分析： （法 1）水流的时间=甲乙两地间的距离÷ 水速，而此题并未告诉我们D甲乙两地间距离‖，且 根据已知， 顺水时间及逆水时间也无法求出， 而它又是解决此题顺水速度、 逆水速度和水速的关键．1 1 将甲、乙两地距离看成单位D1‖，则顺水每天走全程的 ，逆水每天走全程的 ． 5 7 1 1 水速=(顺水速度一逆水速度)÷ 2= ，所以水从甲地流到乙地需： 1 ? ? 35 （天）. 35 35当然，我们还可以把甲乙两地的距离设成其他方便计算的数字，这其实就是特殊值代入法！ （法 2）用方程思路，5× （船速＋水速）=7× （船速―水速） ，即 船速=6× 水速，所以轮船顺流行 526天的路程等于水流 5＋5× 5＝35（天）的路程，即木筏从 A 城漂到 B 城需 35 天. （法 3）逆水比顺水多 2 天到达，即船要多行驶 2 天，为什么会多 2 天呢，因为顺水时得到了 5 天 的水速帮助，逆水时又要去克服 7 天的水速，这一切都是靠 2 天的船速所实现的，即船速等于 6 天的水速；所以轮船顺流行 5 天的路程等于水流 5＋5× 6＝35（天）的路程，即木筏从 A 城漂到 B 城需 35 天.【例6】一艘小船在河中航行，第一次顺流航行 33 千米，逆流航行 11 千米，共用 11 小时；第二次用同样的时间，顺流航行了 24 千米，逆流航行了 14 千米.这艘小船的静水速度和水流速度是多 少？ 分析： （法 1）两次航行顺流的路程差：33-24=9 （千米） ，逆流的路程差：14-11=3 （千米） ，也就 是说顺流航行 9 千米所用的时间和逆流航行 3 千米所用时间相同，那么顺流航行 33 千米与逆流航 行 33÷ 3=11 （千米）时间相同，则逆流速度： （11+11）÷ 11=2（千米/小时） ，同样可得顺流速度为： （24+14× 3）÷ 11=6（千米/小时） ，静水速度： （6+2）÷ 2=4（千米/小时） ，水流速度： （6-2）÷ 2=2 （千米/小时）. （法 2）根据顺流航行 9 千米所用的时间和逆流航行 3 千米所用时间相同，9 千米=顺流速度× 时间 =逆流速度× 倍的时间，可得：顺流速度=3× 3 逆流速度，而后仿照法 1 部分思路解答.【例7】一只船在河里航行， 顺流而下每小时行 18 千米.已知这只船下行 2 小时恰好与上行 3 小时所行的路程相等.求船速和水速. 分析：逆水速度：18× 3=12（千米/小时） 2÷ ，船速： （18+12）÷ 2=15（千米/小时） 。水流速度： （18-12） ÷ 2=3（千米/小时）. 【拓展】一只帆船的速度是每分 60 米，船在水流速度为每分 20 米的河中，从上游的一个港口到下 游某一地，再返回到原地，共用了 3 小时 30 分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米? 分析：3 小时 30 分=3× 60+30=210(分)， 顺水速度=60+20=80(米／分)， 逆水速度=60―20=40(米／分)． 又因为：顺水速度× 顺水时间=逆水速度× 逆水时间， 逆水时间=2× 顺水时间，把顺水时间看成 1 份，那么顺水时间=210÷ (2+1)=70(分)， 从上游港口到下游港口共走了 80× 70=5600(米)． 流水行船问题中的相遇与追及 （1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单 位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和. 这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙27船船速. 这就是说， 两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样， 与水速没有关 系. （2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速 有关，与水速无关. 这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速. 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样. 由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答.【例8】甲、乙两船在静水中的速度分别为 33 千米/小时和 25 千米/小时. 两船从相距 232 千米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追 上乙船？ 分析：(1)相遇问题中,两船的速度和：32+25=58 千米/小时，相遇时间：232÷ 58=4 小时， （2）追及问题中，两船的速度差：33-25=8 千米/小时，追及时间：232÷ 8=29 小时. 【巩固】甲、乙两人从相距 40 千米的 A、B 两地相向而行，甲以每小时 3 千米的速度从 A 地出发， 乙以每小时 5 千米的速度从 B 地出发，此时风速是每小时 2 千米，若甲顺风行走，那么他们几小 时后相遇？相遇地点距 A 地多远？ 分析：甲的实际速度：3+2=5（千米/小时） ，乙的实际速度：5-2=3（千米/小时） ，相遇时间：40÷ （5+3）=5（小时） ，甲行走的路程：5× 5=25（千米）.【例9】甲、 乙两船的船速分别为每小时 22 千米和每小时 18 千米． 两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发 2 小时，如果水速是每小时 4 千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船? 分析： 要求甲船追上乙船所用的时间， 根据公式： 路程差=速度差× 追及时间， 关键要求出路程差(速 度差由题干所给条件容易求出)，即甲出发时，乙已经行驶过的路程，为顺水行程问题．乙船先行 的路程为：(18+4)x2=44(千米)，追及时间为：44÷ (22-18)=44+4=11(小时)．【例10】 某河上、下两埠相距 45 千米，每天定时有甲、乙两艘船用相同的船速分别从两埠同时出发相向而行．有一天甲船从上埠刚出发时掉下一物，此物浮于水面顺流而下，2 分钟后与甲船相距 0.5 千米．问：预计乙船出发后几小时与此物相遇? 分析：甲船速=距离÷ 时间=0.5÷ （2÷ 60）=15(千米／小时)，时间=总路程÷ （水速+ 船逆水速度） =45÷ 15=3(小时)．【例11】 有一个小孩不慎掉进河里，他抱住了一根圆木沿河向下漂流. 有 3 条船逆水而上，在对应着河岸上的 A 处同时与圆木相遇，但是都没有发现圆木上有小孩. 3 条船的速度是已知的而且大小28不同，当 3 条船离开 A 处一小时以后，船员们同时从无线电中听到圆木上有小孩，要求营救的消 息，因此 3 条船同时返回，去追圆木. 当天晚上，孩子的父母被告知，小孩已在离 A 处 6 千米的下 游 B 处，被救起. 问：是 3 条船中的哪条船首先来到孩子抱住的圆木处救起了孩子？ 分析：考虑任一条船，船离开圆木时，它的速度是静水中的速度减去水速，而圆木的速度为水速， 所以一小时后船离小孩的距离为船一小时在静水中的路程. 当船追圆木时， 船速是静水中的速度加 上水速，圆木速度仍为水速，因此船会在一小时后追上圆木. 对其他两条船也是如此. 故 3 条船是 同时来到圆木处的.【例12】 某人畅游长江，逆流而上，在 A 处丢失一只水壶，他向前又游了 20 分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离 A 处 2 千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？ 分析：注意画图帮助学生分析.该人丢失水壶后继续逆流而上 20 分钟，水壶顺流而下：速度和=该 人的逆水速度+水速=该人的静水速度-水速+水速=该人的静水速度，该人与水壶的距离=二者速度 和× 时间=20× 该人的静水速度．该人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下．二者速度差=该 人的静水速度，追及距离=该人的静水速度× 追及时间，追及时间=2÷ 水速，所以有：20× 该人的静 水速度=2÷ 水速× 该人的静水速度，所以水速=1/10，追及时间=2÷ 水速=20 分钟. 【附 1】一艘轮船顺流航行 80 千米，逆流航行 48 千米共用 9 时；顺流航行 64 千米，逆流航行 96 千米共用 12 时. 求轮船的速度.分析： 由于两次航行的时间不相等， 可取两次时间的最小公倍数， 等价地化为相等时间的两次航行. 将题目进行改编可以得到： D一艘轮船顺流航行 80× 4=320 千米， 逆流航行 48× 4=192 千米共用 9× 4=36 小时；顺流航行 64× 3=192 千米，逆流航行 96× 3=288 千米共用 12× 3=36 小时.‖ 也就是说，顺流航 行 128 千米所用的时间和逆流航行 96 千米所用时间相同，即顺流航行 4 千米所用的时间和逆流航 行 3 千米所用时间相同.所以顺水速度为：80+48÷ 4） 9=16 千米／时）逆水速度为：80÷ 3+48） （ 3× ÷ （ ， （ 4× ÷ 9=12（千米／时） ，轮船速度为： （16+12）÷ 2=14（千米／时）. 【附 2】一条河的水流速度是每小时 3 千米，一条船从此河的上游 A 地顺流到达下游的 C 地，然 后掉头逆流向上到达中游的 B 地，共用 8 小时.已知这条船的顺流速度是逆流速度的 2 倍，A 地与 B 地相距 24 千米.求 A、C 两地间的距离。 分析：顺流速度比逆流速度多 1 倍，那么 逆流速度为水速的 2 倍. 逆流速度：3× 2=6（千米/小时） ； 顺流速度：6× 2=12（千米/小时） ； 从 A--B 航行时间为：24÷ 12=2 小时；剩下路程所用的时间：8-2=6 小时；因为：BC=顺水速度× 顺29水时间=逆水速度× 逆水时间，所以，逆水航行的时间=2× 顺水航行的时间，那么顺水航行 BC 这段 路程用时间：[6÷ （2+1）] × 1=2 小时，BC=2× 12=24（千米） ，AC=24+24=48（千米）. 【附 3】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3 小时后相遇．已知 水流速度是 4 千米／小时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？分析： 为了求出相遇时两船航行的距离相差多少， 若考虑将两船的各自航程分别求出的话， 需根据： 航程=速度× 时间，要求出两船的顺水速度或逆水速度，即要求两船(在静水中)的船速．而由已知条 件分析， 船速无法求出． 下面我们来分析一下，在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水， 它们的航程差是什么造成的，不妨设甲船顺水，乙船逆水． 甲船的顺水速度=船速+水速， 乙船的逆水速度=船速一水速， 故：速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2× 水速，即：每小时甲船比乙船多走 2× 4=8(千米)．3 小 时的距离差为 3× 8=24(千米)． 【附 4】 甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的 B 站驶去， 与此同时乙轮船自 B 站出发逆水向 A 站驶来. 7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇. 已知甲轮船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距 31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离.分析：因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则 7.2 时后乙船到达 A 站，2.5 时后甲船距 A 站 31.25 千米，由此求出甲、乙船的航速为 310.25÷ 2.5＝12.5（千米／时） A，B ， 两站相距 12.5× 7.2=90（千米）. 【附 5】在一条河里，两船分别从上游 A 地和下游 B 地同时相向前进，水的流速是每分 30 米，两 船在静水中的速度都是每分钟走 600 米. 有一天，两船又分别从 A、B 两地同时出发，但这时水流 速度是平时的两倍，所以相遇的地点比平时相遇点差 6000 米.求 A、B 两地间的水路的长度. 分析：当下行的船速每分钟增加 30 米，相遇的地点就偏离原地点 6000 米，可知两船相遇的时间为 6000÷ 30=200 分钟.由此可知，A、B 两地的路长为（600+600）× 200=240000 米. 练习四：1．一条河上的两码头相距 195 千米，一只轮船在两码头间往返一趟下行需 13 小时，上行 需 15 小时，求船速和水速． 分析：顺水速：195÷ 13=15(千米)，逆水速：195÷ 15=13(千米)，船速：(15+13)÷ 2=28÷ 2=14(千米)， 水速：(15―13)÷ 2=2÷ 2=1(千米). 2．一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要 6 时，逆流需要 8 时，水流速度为 2.5 千米／时， 求轮船在静水中的速度。30分析： 方程解法： 设轮船在静水中的速度为 x 千米／时， 则有 6 （x＋2.5） （x－2.5） 解得 X=17.5. ＝8 ，3．轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 4 天.从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天？ 分析： （法 1）逆水比顺水多一天到达，即船要多行驶一天，为什么会多一天呢，因为顺水时得到 了三天的水速帮助，逆水时又要去克服四天的水速，这一切都是靠一天的船速所实现的，即船速等 于 7 天的水速； 所以轮船顺流行 3 天的路程等于水流 3＋3× 7＝24（天）的路程，即木筏从 A 城漂到 B 城需 24 天. （法 2）用方程的思想，3× （船速＋水速）=4× （船速―水速） ，即船速=7× 水速. （法 3）用特殊值代入法，可以把全城看成 1，或者假设成其它方便计算的数值. 4．一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时. 求水流的速度. 分析：两次航行顺流的路程差：120-60=60（千米） ，逆流的路程差：120-80=40（千米） ，也就是说 顺流航行 60 千米所用的时间和逆流航行 40 千米所用时间相同， 即顺流航行 3 千米所用的时间和逆 流航行 2 千米所用时间相同. 一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时，相当于顺 水航行 120+80÷ 3=240 千米用 16 小时，逆水航行 80+120÷ 2=160 千米用去 16 小时，所以顺水 2× 3× 速度为 15 千米/小时，逆水速度为 10 千米/小时，水流速度为（15－10）÷ 2＝2.5（千米／时）. 5．甲、乙两船从相距 64 千米的 A、B、两港同时出发相向而行，2 小时相遇；若两船同时同向而 行，则甲用 16 小时赶上乙．问：甲、乙两船的速度各是多少？ 分析：两船的速度和=64÷ 2=32 (千米／小时)，两船的速度差=64÷ 16=4 (千米／小时)，根据和差问 题，分别求甲、乙两船的速度：18 和 14 千米／小时 . 视网膜效应 记得四年前我刚留学回来时，首先想到的是要买一部车。经过一段时间的评估后，我决定买一 部绿色的中型轿车。当时我的印象是一般人的车都买白色或黑色，所以自己要选一个独特的，这才 能显出个人的品位。正在我为自己买了一辆与众不同的车子而沾沾自喜时，却突然发现，不论是在 高速路上，还是在小巷子里，甚至是我住的大楼的停车场中，都有许多与我车子同型同色的轿车。 我开始觉得很奇怪， 为什么大家突然之间都开始买墨绿色的车？我把自己这种突然发现和周围 同事分享。有一位女同事正好怀孕，听我讲完后就抢着说：D我倒是没有看到很多墨绿的轿车，不 过我发现，现在孕妇很多。上星期，我去逛百货大楼，短短两小时就看到 6 个孕妇。‖而她说的这 种现象，我和其他同事却都没有发现，心想，她这一发现大概是凑巧吧！ 后来有一次听演讲，才了解到这种现象在心理学上叫做D视网膜效应‖。简单地说，就是当我们31自己拥有了一件东西或一项特征时，就会更加注意别人是否跟我们一样具备这种特征。 卡耐基先生很久前就提出一个论点，即每个人的特质中有 80％是长处，而 20％左右是我们的 缺点。当一个人只知道自己的缺点，而不知发觉优点时，D视网膜效应‖就会促使这个人发现他身边 也有许多人拥有类似的缺点，进而使他的人际关系无法改善，生活也不会快乐。 一个人要人缘好、要受人欢迎，一定要有欣赏自己和肯定自己的能力。因为在D视网膜效应‖ 的运作下，一个看到自己优点的人，才有能力看到他人的可取之处。而能用积极的态度看待他人， 往往是人际关系好的必备条件。第五讲巧求周长和面积D巧求周长和面积‖的相关内容我们在寒假小 4 第四讲给予过一定的讲解. 本讲我们主要在原有 知识的基础上进行提高巩固， 同时加入一些新的知识， 帮助我们更好的过渡到五年级几何部分的学 习. 对于一些非常典型的例题，我们采用D重复加强‖的学习方法，帮助孩子们牢固掌握. 奥数的题 目虽然很多，但一些经典题目，常常会以原题形式出现在各个中学入学测试题中，希望我们的孩子 能戒骄戒躁，温故而后知新，清晰彻底的掌握理解自己学习过题目. 【复习 1】 若干个长 2cm、宽 1cm 的长方形摆成如右图的形状，求该 图形的周长. 分析： 观察图形， 上下共有 13 层， 所以左、 右的高共长： 13× 1× 2=26(cm)； 从下层往上数，第四层最长，有 2× 10=20cm，所以上下的宽共有： 20× 2=40(cm)，故该图形的周长为：26+40=66(cm) . 【复习 2】右图中是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为 l 厘米， 求螺线的总长度. 分析：如下图所示，将原图形转化为 3 个边长分别为 3、5、7 厘米的正方形和中 间一个三边图形.所以螺线的总长度为： （3+5+7）× 4+1× 3=63 cm . 【复习 3】 有 10 张长 3 厘米，宽 2 厘米的纸片，将它们按照 右图的样子摆放在桌面上， 那么这 10 张纸片所盖住的桌面的面 积是多少平方厘米？32分 析 ： 每 多 盖 一 张 ， 遮 住 的 面 积 增 加 2× ， 所 以 这 10 张 纸 片 所 盖 住 的 桌 面 的 面 积 是 1 3× 2+2× 9=24cm2. 1× 图 1、图 2 都是由完全相同的正方形拼成的，并且图 1 的周长 是 22 厘米，那么图 2 的周长是多少厘米？ 分析：图 1 的周长是小正方形边长的 12 倍。 图 2 的周长是小正方形边长的 18 倍． 因此，图 2 的周长=22÷ 18=33(厘米) 12×【巩固】右图是由 16 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 400 平方厘米，那么它的周长是多少厘米? 分析：因为 400÷ 16=25(平方厘米)，所以每个正方形的边长是 5 厘米.观察右 图，从上下方向来看有 14 条边是周长的一部分，从左右方向来看有 20 条边是 周长的一部分，所以周长为 170 厘米. 计算右面图形的周长(单位：厘米). 分析：要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件.但是，我们仔细观 察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角 处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一 个长方形。求长方形的周长就易如反掌了.图形的周长是：(10+15)× 2=50(厘 米) .【例1】（希望杯 1 试）如右图，正方形 ABCD 的边长是 6 厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成 9 个小长方形。这 9 个小长方形的周长 之和是多少厘米？ 分析：从总体考虑，在求这 9 个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD 这四条边被用了 1 次，其余四条线被用了 2 次，所以 9 个小长方形的周长之和 是：4× 6+4× 6=72（厘米）. 2× 【拓展】正方形 ABCD 的边长为 3 厘米，每边被 3 等分，求图中所有正方形周 长的和. 分析：分类进行统计， 边长为 1 厘米的正方形的周长的和是：1× (3× 4× 3)=36(厘米)， 边长为 2 厘米的正方形周长的和是：2× (2× 4× 2)=32(厘米)， 边长为 3 厘米的正方形周长是：3× (1× 4× 1)=12(厘米)，33图中所有正方形周长的和是：36+32+12=80(厘米).【例2】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点， 这样大正方形被分割成了正方形区域甲， L 形区域乙和丙 . 和 甲的边长为 4 厘米，乙的边长是甲边长的 1.5 倍，丙的边长是乙边长的 1.5 倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？ 分析：乙的周长实际上是正方形 AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的部分D掰过来‖） ，同理丙的 周长也就是正方形 ABCD 的周长，那么 AE=1.5× 4=6 ，AD=1.5× 6=9，丙的周长为 36 厘米，EF =AE-AF=6-4=2（厘米）.【例3】用若干个边长都是 2cm 的平行四边形与三角形（如下图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是 244cm，平行四边形和三角形各有多少个？ 分析：40 个 .大平行四边形上、下两边的长为（244-2× 2）÷ 2=120（cm） ，观察上边，每 6cm 有两 个平行四边形的边，所以共有小平行四边形（120÷ 6）× 2=40（个） ，三角形数量与小平行四边形的 数量相等，也是 40 个. 【巩固】 如果将大平行四边形的周长改为 236cm， 大平行四边形上、 下两边的长为 （236-2× ÷ 2） 2=116 （cm） ，观察上边，每 6cm 有两个平行四边形的边，116’6=19……2，所以有三角形 19× 2=38，小 平行四边形 38+1=39（个）. 巧求面积 一块正方形的苗圃（如右图实线所示） ，若将它的边长各增加 30 米(如图虚线 所示)， 则面积增加 9900 平方米， 问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米? 分析：小正方形的面积为：30× 30=900 平方米．用增加的面积减去小正方形的 面积就得到增加的两个长方形的面积，为：00 平方米．而增加 的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积等于 9 000÷ 2=4500 平方米． 长方形的宽为 30 米，那么长为：4500÷ 30=150（米） ，150× 150=22500（平方米）. 长方形 ABCD 的周长是 30 厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画 正方形． 已知这四个正方形的面积之和为 290 平方厘米， 那么长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米? 分析：从图形我们可以看出，A1B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即 为长方形 ABCD 周长的一半， 可以看出若以 A1B 和 BC1 为边能构成大正方 形 A1BC1E1(如下图 b 所示)， 其中包含两个长方形和两个正方形， 而且两个长方形的面积是相等的，34两个正方形的面积刚好是 290 平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形 A1BC1E1 的边长为 15 厘米，面积为：225 平方厘米，正方形 CDD1C1 与正方形 ADEA1 的面积之和为：290÷ 2=145(平方厘米)．长方形 ABCD 与长方形 EDD1E1 的面积相等．所以，长方形 ABCD 的面积为：(225―145)÷ 2=40(平方厘米)．【巩固】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸 片面积分别 44cm2 与 28cm2，原正方形纸片面积是多少平方厘米？ 分析： 做辅助线， 如右下图， 小正方形Ⅰ的面积为 44－28=16， a=4, b=28÷ 4=7， 原正方形面积=7× 7=49（平方厘米）.【例4】正三角形 ABC 的面积是 1m2，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图） ，求六边形的面积. 分析：采用分割法，右下图中所有小三角形的面积都相同， 所以面积=13. 【巩固】右图是一个长方形花坛，阴影部分是草地，面积为 18 平方米，空地是四块同样的菱形，求空地的面积.分析：采用分割的思路，如右下图，添加 3 条与宽平行的线，形成 4 个 长方形，其中的阴影部分面积为小长方形面积的一半， 所以总的阴影面积为总面积的一半，空地的面积等于阴影面积 为 18 平方米. 综合应用 （希望杯 1 试）如右图，六个相同的长方形围成了大小两个正方形，已知小正方 形的面积是 36 平方厘米，则每个小长方形的面积是多少平方厘米？ 分析：小正方形的面积为 36 平方厘米，则边长为 6 厘米，所以小长方形的长为 6 厘米，2 个宽+长=2 个长，所以小长方形的宽等于 3 厘米，每个小长方形的面 积为 18 平方厘米.【例5】图4如右图的长方形纸片，假如按图中虚线剪成 4 块，这 4 块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的周长是多少厘米? (单位： 厘米)35分析：根据形变其面积不变的原理，所拼成的正方形面积是：9× (12+4)=144(平方厘米)，由正方形 面积计算公式可知正方形的边长是 12 厘米，即 144=12× 12， 所以，所拼成的正方形的周长是：12× 4=48(厘米).【例6】（迎春杯初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形 EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面 积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2，求甲、乙、丙、丁四 个长方形周长的总和. 分析：大正方形面积等于四边形 ABCD 面积加上甲、乙、丙、丁面积和 的一半，即 20+32÷ 2=36（厘米 2） 。推知大正方形边长为 6 厘米，也就是小长方形的长加宽为 6 厘 米，所以一个小长方形的周长为 12 厘米，甲、乙、丙、丁周长的总和等于 48 厘米.【例7】（06 年希望杯 2 试）如右图，用标号为 1，2，3，4，5 的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是 18，14，则标号 为 5 的正方形的面积是多少？ 分析：如果标号为 5 的正方形的边长是 a，那么 1 号比 2 号大 a，2 号比 3 号大 a，所以 1 号比 3 号 大 2a， 又因为 2 号和 3 号的边长之}