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第三章几何光学的基本原理第三章几何光学的基本原理教学基本要求：? 阐明光线、折射率、光程、光学系统、理想成象、实物、虚物、实象、虚象和物、象空间等物理概念。? 阐明平面反射、折射成象的规律。重点阐明球面镜反射成象、球面折射成象、薄透镜成象的构象公式以及平行光线和任意光线的成象作图法培养学生的计算和作图的能力。? 了解费马原理的物理思想用费马原理推导反射或折射定律。? 着重叙述基点、基面的物理意义。了解薄透镜的组合成象? 阐明全反射的物理规律。扼要介绍光导纤维的构造和应用。基本概念及基本实验定律基本概念及基本实验定律一、光线与波面光线：形象表示光的传播方向的几何线。说明：同力学中的质点一样光线仅是一种抽象的数学模型。它具有光能有长度有起点、终点但无粗细之分仅代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔）中得到“光线”的想法均是徒劳的。无数光线构成光束。波面：光传播中位相相同的空间点所构成的平面或曲面。光沿光线方向传播时位相不断改变。说明：波面即等相面也是一种抽象的数学模型。波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）为球面的称为球面光波（如点光源所发光波）为柱面的称为柱面光波（如缝光源所发光波）光线与波面的关系在各向同性介质中光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。平面波球面波柱面波二、几何光学的基本实验定律直线传播定律：在均匀介质中光总是沿直线传播的。反射定律：折射定律：独立传播定律：光路可逆原理：自不同方向或不同物体发出的光线相交时对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性沿原方向继续传播互不影响。在几何光学中任何光路都是可逆的。费马原理费马原理光在均匀介质中总是沿直线传播的光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念回答了该问题。一、费马原理表述：光在空间两定点间传播时实际光程为一特定的极值。、表达式：说明：意义：费马原理是几何光学的基本原理用以描绘光在空间两定点间的传播规律。用途：A可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性极值的含义：极小值极大值恒定值。一般情况下实际光程大多取极小值。B推求理想成象公式。二、费马原理的证明、直线传播定律：（在均匀介质中）、折射定律：（在非均匀介质中）如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上折射后到达Ｂ点。折射线在入射线和法线决定的平面内只需证明折射点C点在交线OO’上即可折射线、入射线分居法线两侧由于反射、折射定律是实验定律是公认的正确的结论所以费马原理是正确的。同理：也可证明反射定律。单心光束实像和虚像单心光束实像和虚像成像问题是几何光学研究的主要问题之一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律首先介绍几个基本概念。一、单心光束、实像、虚像、发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。它也是一个抽象概念一个理想模型有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点则称该点为实发光点若某点为诸光线反向延长线的交点则该点称为虚发光点。、单心光束：只有一个交点的光束亦称同心光束。该唯一的交点称为光束的顶点。发散单心光束会聚单心光束实象：有实际光线会聚的象点。虚象：无实际光线会聚的象点。（光束反向延长线的交点）。当顶点为光束的发出点时该顶点称为光源、物点。、实像、虚像当单心光束经折射或反射后仍能找到一个顶点称光束保持了其单心性。该顶点称为象点。实像虚像二、实物、实像、虚像的联系与区别、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。光通过浑浊的空间时尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到而不是看到了光束本身宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的是由于没有尘埃作为散射源。对能保持单心性的光束一个物点能且只能形成一个像点即物与像形成一一对应关系。、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过对人眼而言无论是物点还是像点是实像还是虚像都不过是发散光束的顶点二者之间没有区别。实物、实像、虚像的区别A：P与P’、P‘’P各处可见而由于透镜大小的限制P‘和P’‘仅在光束范围内可见。B：P’与P‘’置一白纸于P’、P‘’处由于有实际光线通过P’是亮点由于无实际光线通过P‘’处看不到光点。光在平面介面上的反射和折射光学纤维光在平面介面上的反射和折射光学纤维保持物、像在几何形状上的相似性是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。一般情况下光在介面上反射和折射后其单心性不再保持。但只要满足适当的条件可以近似地得到保持。接下来的两节主要研究在不同介面反射、折射时光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射如图示：点光源P发出单心光束经平面镜反射后形成一束发散光束其反向延长线交于一点P‘且与P点对称。显然反射光束仍为单心光束说明在此过程中光束保持了其单心性是一个理想成像过程P‘是P的虚像。平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。二、光在平面介面上的折射、光束单心性的破坏介质n中的发光点P发出单心光束经两面介面XOZ折射后进入介质n现取其中一微元光束（如图示）在XOY平面内其折射光束的反向延长线交于P‘点并与OY轴交于P、P两点。各点坐标如图示：经计算（见附录）可得：将PA、PA沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元则：P、P、P三点不动而交点P’将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平面的一小段直线）。所以光束内任一条光线与Y轴的交点均处在直线PP（弧矢象线）内但不相交交点P‘也处在直线P’P‘（子午象线）上也不相交。即：发光点经折射后成象为两条相互垂直的象线而不是象点称为象散。折射后光束的单心性已被破坏。、象似深度三、全反射光学纤维、全反射：只有反射而无折射的现象称为全折射。、光学纤维原理：在顶角为i的园锥体内的光线均能在光纤内顺利传播。直径约为几微米的单根或多根玻璃(或透明塑料)纤维说明：四、棱镜、偏向角、最小偏向角：棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时产生两个或两个以上界面的连续折射传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜（如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。、应用棱镜光谱：当用白光入射时由于折射率的不同出射光将展开成彩带即光谱。所以三棱镜也是一种分光装置。改变光路：如右图示光在球面介面上的反射和折射光在球面介面上的反射和折射一、球面的几个概念符号法则球面顶点：O球面曲率中心：C球面曲率半径：r球面主轴：连接O、C而得的直线。主截面：通过主轴的平面。、符号法则：为使计算结果普遍适用对线段和角度正负取法的规定。、基本概念：线段长度均从顶点算起：A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正凡光线与主轴交点在顶点左方者线段长度数值为负B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正下方为负。光线的倾角均从主轴或球面法线算起并取小于的角度由主轴（或法线）转向有关光线时：A、顺时针转动角度为正B、逆时针转动角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则图中出现的长度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正负。无论光线从左至右还是从右至左无论是球面反射还是折射以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。二、球面反射对单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束其中一条光线在球面上A点反射反射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。按符号法则各有关线段和角度的正负如图所示。s物距s`象距对一定的球面和发光点P（S一定）不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面反射后单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式、近轴光线条件即：对一定的反射球面（r一定）Ｓ‘和Ｓ一一对应而与入射点无关。由P点所发出的单心光束经球面反射后将交于一点P‘光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。在近轴光线条件下：像点称为高斯像点研究物像关系的内容为高斯光学。、物像公式焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点该点称为反射球面的焦点(F’)。F`说明：、它是球面反射成像的基本公式只在近轴条件下成立、式中各量必须严格遵从符号法则、对凸球面反射同样适用、当光线从右至左时同样适用。一个点状物放在凹面镜前m处凹面镜的曲率半径为m试确定像的位置和性质解：设光线从左至右最后像是处于镜后米处的虚像。当光线从右至左时可得到相同结论。说明符号法则均适用例题：四、球面折射对光束单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束其中一条光线在球面上A点折射折射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。对一定的球面和发光点P（S一定）不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面折射后单心性被破坏五、近轴光线下球面折射的物像公式、物像公式:、讨论：当介质和球面一定时（n,n’,r一定）S‘与S一一对应即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。计算时r取米为单位物像公式对凹球面折射同样适用。物像共轭：P‘为P的像点反之当物点为P‘时像点必在P点这种物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。其中：P、P’称为共轭点光线PA、AP‘称为共轭光线。物空间与像空间：规定：入射线在其中进行的空间物空间折射线（或折射线）在其中进行的空间像空间。n`S‘>:实像S‘<:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’S‘<:实像S‘>:虚像焦点、焦距F`F球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例　在球面反射中物像空间重合且入射光线与反射光线行进方向相反物理上无意义六、理想成象的两个普适公式、高斯公式：高斯公式对任何理想成像过程均适用、牛顿公式：若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点F、F‘则有如下关系（如右图示）、说明：高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同情况下焦距的形式不同而已。牛顿公式对任何理想成像过程均适用例题:例题:一个折射率为的玻璃哑铃长cm两端的曲率半径为cm。若在离哑铃左端cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。解：两次折射成像问题。、P为物对球面O折射成像P’、P‘为物对球面O折射成像也可用高斯公式、牛顿公式求解！光连续在几个球面上的折射虚物光连续在几个球面上的折射虚物实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。一、共轴光具组、定义：由两个或两个以上的球面所构成的其曲率中心处在同一条直线上的光学系统称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。反之称为非共轴光具组。、共轴光具组的特点：光在连续折射时前一球面的像就是后一球面的物通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面才能保证整个系统最后能够成像。光线是近轴的。二、逐个球面成像法、定义：依球面的顺序应用成像公式逐个对球面求像最后得到整个共轴光具组的像。、方法特点及注意事项必须在近轴光线条件下使用才能得到最后像。前一球面面的像是后一球面的物前一球面的像空间是次一球面的物空间前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点不能混淆。计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）三、虚物、定义：会聚的入射光束的顶点称为虚物。如上图中P发散的入射光束的顶点称为实物。如上图中P、P和P。、说明：实物、虚物的判断依据A、入射光束：发散实物会聚虚物B、物所处空间：物空间实物像空间虚物虚物处永远没有光线通过。（实物不一定如P、P有P无）虚物仍遵从符号法则。（如上图中S>）虚物处像空间但对应的却是物空间的会聚光束故折射率就取物方折射率。（与虚像类似。如上图中P：物方折射率为n薄透镜薄透镜一、透镜、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成园形。、分类：按表面形状分凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。弯凸平凸双凸双凹平凹弯凹、有关透镜的几个概念：主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意：由于透镜为园形主轴为其对称轴所以各主截面内光线分布均相同只需研究一个面内的成像就行了。孔径：垂直于主轴方向透镜的直径。当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时称为薄透镜当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时称为厚透镜。二、近轴条件下薄透镜的物像公式在近轴光线条件下对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：、物像公式薄透镜物像公式、讨论：薄透镜的会聚和发散不仅与其形状有关还与两侧的介质有关：空气中的薄透镜高斯公式薄透镜简化模型凸透镜凹透镜、定义：在近轴光线和近轴物的条件下像的横向大小与物的横向大小之比。、说明：四、薄透镜作图求像法、主轴外的近轴物点作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条其折射后的交点即为所求像点。、主轴上的物点物方焦平面：在近轴条件过物方焦点F且与主轴垂直的平面。像方焦平面：在近轴条件过像方焦点F‘且与主轴垂直的平面。付轴：焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。焦平面的性质：物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面利用像方焦平面近轴物点近轴光线成像条件近轴物点近轴光线成像条件前几节研究了在近轴光线条件下主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上有的在主轴外。因此研究具有一定大小的物体的成像就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。一、费马原理的推论费马原理：光在空间两定点间传播时光程总是取极值。两点一定其极值为一个确定值。无论这两点间有多少条实际光路每条光路（即光线）的光程都必须且只能等于这个确定值。要使物体上的任一点Q（定点）理想成像于Q‘（另一定点）即从Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于Q’必须满足：从Q点发出的所有光线到达Q‘时光程均相等。费马原理的推论等光程成像原理适用于所有理想成像过程二、近轴物近轴光线球面反射成像、物像公式由近轴物点Q发出的光线一条在球面顶点O处反射另一条在球面任意位置A点处反射两反射光交于Q`点。由图可求得从Q点到Q`点的光程为：当反射点A的位置不同时h值将不同因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q‘点由费马原理的推论光程必须为唯一定值即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为有：、说明此公式是一般公式对主轴外、主轴上的物点均适用。当轴上物点P和近轴物点Q具有同一物距s值时轴上象点P`和近轴象点Q`必有同一象距s`值物和象具有几何相似性即近轴光条件下近轴物可实现理想成象。从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像必须满足近轴条件：A、光线必须是近轴的B、物点必须是近轴的。三、近轴物近轴光线球面折射成像、物像公式近轴物点Q发出的两条光线分别在球面的O点和A点发生折射折射光交于Q`点。在近轴光线和近轴物点条件下用二项式定理展开并略去高次项得：当折射点A的位置不同时h值将不同因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q‘点由费马原理的推论光程必须为唯一定值即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为有：、说明：由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴则其像为线状也垂直于主轴满足理想成像条件。例题:例题:用一个焦距为cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组平面镜位于透镜右边cm处今置高为cm的物体于透镜左方cm处（系统处于空气中）（）求最后成像的大小和性质（）作出准确的光路图。解：此题属三次成像问题。如图示。（）物y对凸透镜s=cmf'=cm由高斯公式有：β=s's=()()=y=βy==cm（）y对平面镜s==cms'=s=cmβ=y=cm（）y对凸透镜s==cmf'=cmβ=s's=()=y=βy=()=cm最后成像在凸透镜左方cm处为放大、倒立的实像。光路图如下：理想光具组简介理想光具组简介引言：理想光具组是一种简化方法把共轴系统作一个整体处理以一个等效光具组代替整个共轴光具组的光学系统不必考虑光在该系统中的实际路径。理想光具组理论建立了点与点、直线与直线、面与面间的共轭关系的纯几何理论。物方的每个同心光束转化成象方的一个同心光束满足这种理想成象要求的光具组叫理想光具组。一、理想光具组的基点和基面、主点和主平面物、像方主点H、H’是一对共轭点物、像主主平面是共轭平面且面上任一对共轭点到主轴的距离相等入射到物方主平面上一点M的任一条光线将从像方主平面上等高点M‘处出射。、焦点、焦平面平行于主轴的光线经光具组后会聚于像方焦点（如图）过物方焦点的光线经光具组后平行于主轴（如图）一束倾斜平行光经光具组后交于像方焦平面上一点（如图）物方主平面上任一点发出的光线经光具组后成为一束倾斜平行光（如图）、节点和节平面从物方节点入射的光线将从像方节点出射且传播方向不变（u=u’)当光具组两边为同一介质时节点与主点重合。（K与H重合K‘与H’重合）二、理想光具组的角放大率三、理想光具组的简化模型四、理想光具组的作图求像法四、理想光具组的作图求像法、对主轴外的物点取下述三条特殊光线中的两条即可、对主轴上的物点（）、利用物方焦平面（）、利用像方焦平面