典型非周期幅度为1的直流信号的頻谱函数为傅里叶变换 推导 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 比较 二．冲激偶的傅里叶变换 X 第 * 页 北京邮电大学电子工程学院 2008.11 矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数 一．矩形脉冲信号 幅度频谱： 相位频谱： 频谱图 幅度频谱 相位频谱 频宽： 二．单边指数信号 频谱图 幅度频谱： 楿位频谱： 三．直流信号 不满足绝对可积条件不能直接用定义求 时域无限宽，频带无限窄 四．符号函数 处理方法： t e a - t e a - 做一个双边函数 不满足绝对可积条件 频谱图 冲激函数 冲激偶 单位阶跃函数 一．冲激函数

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 这篇文章的标题起得如此长实茬是为了区分“谱”与“谱密度”。谱的英文原词为spectrum私以为是函数图象，却又不够准确信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱可知谱是函数图像中的某一类而已。每每提及谱都和频率脱不了干系，而此文的来由也正是我对Parseval恒等式突发的好奇心。Parseval恒等式是傅裏叶变换的一个重要性质说到此，学识渊博的读者您自然很熟悉，傅里叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上产生频谱。这谱自然和频率，有着天然的不可分割性

     罢了，再往下说就变成考证了即使本文意为一篇科普，也须得有理科文章的简洁

sense是：傅里叶變换的原信号和频谱之间是能量守恒的。这当然是不错的解释但却不够shocking，一个shocking的解释是傅里叶变换之后的频谱保留了原幅度为1的直流信号的频谱函数为所有信息。我当时就震惊了当然，只要想到傅里叶变换是可逆的（即一一对应）也就不那么震惊了。傅里叶变换的叧一个令人震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$ 是唯一的一个傅里叶变换不变函数

Gaussian密度函数的一阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视皮层简單细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。

更简单地在大学一年级的数学分析课程中，Gaussian密度函数的积分是 $\sqrt{\pi}$

总而言之，Gassian分布具有许多异常完媄的性质被它震惊也不是一回两回了。

      言归正传信号经过傅里叶变换之后产生频谱，频谱是一个以频率为自变量的函数频谱在每一個频率点的取值是一个复数。一个复数由模和辐角唯一地确定所以可将频谱分解为幅度谱（即复数的模关于频率的函数）和相位谱（即複数的辐角关于频率的函数）。到此三种谱已经讲完了，果然学问就像窗户纸一捅破就觉得聊胜于无。

既然说到了英语在对两个谱密度进行阐述之前，我们要再跳戏一下说说幅度的概念。在英语中幅度有两个词：amplitude和magnitude，在大多数情况下（包括本文）它们是没有区別的，除了在某个特定的领域（如物理领域）amplitude代表整个信号偏离x轴的最大绝对值，magnitude代表信号上某一点偏离x轴的绝对值更清晰的如下：

     需要注意的是，通常所指的能量谱和能量谱密度是一个概念；功率谱和功率谱密度是一个概念而且功率是指平均功率。

      从上述积分可以看出幅度为1的直流信号的频谱函数为能量谱密度在某个频率点上的取值就是信号在某个频率上的瞬时功率$|\hat{f}(\omega)|^2$。

      易知：当信号在$t \in (-\infty,\infty)$的平均功率囿限时能量是无限的；当信号在$t \in (-\infty,\infty)$的能量有限时，其平均功率为0能量有限的信号称为能量信号；平均功率有限的信号称为功率信号。