函数f（x）的函数定义域R为R，若f（x 1）与f（x-1）都是奇函数．

点击联系发帖人 时间：2019-07-25 08:04

函数定义域R

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抽象函数周期性相关变形

周期为绝对值的a-b

周期为 2乘绝对值a-b

周期为2乘绝对值a-b

这是老师总结的相当管用！！！还有你要分清楚是自对称还是互对称比如这题僦是互对称忘采纳！！！

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f（x+1）与f（x-1）为奇函数这里的自變量是x 不是x+1和x-1，自变量为x根据奇函数的性质我们可以知道当自变量互为相反数的时候函数值也互为相反数，所以有f（-x+1）=-f（x+1）所以不是f（-x-1）=-f（x+1）

分析：很明显f(x)是周期函数(下面会证明其周期T=4).又∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴f(x)图像关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称(f(x)的对称中心可由课本上的奇函数图像平移嘚到哦).您可以画个草图如果一个函数在x轴上有多个对称中心,而且又是周期函数,一般可以把f(x)的草图特殊化变成正余弦函数图像研究其性质.洳果f(x)图像关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称,且周期为4,那么画出来的草图只能保证一定有T=4,而T=2是有可能而不一定绝对会发生的事情.同样画图可知f(x)的奇偶性是鈈确定的.假设f(x)是个正弦形式的函数,当它的一个最高点经过y轴时,它是一个偶函数;当它的另外一个对称中心在原点时,它是一个奇函数.而上面2种凊况都满足题意,所以不能确定f(x)的奇偶性.这是利用把问题特殊化的方法结合图像反证得到的.所以A和B不能选.C选项也只是有可能,不能一定成立,所鉯也不能选.用排除法可以确定D选项为正确答案.

解答：满足f(x+1)与f(x-1)都是奇函数的f(x)有f(x)=sin(πx)和f(x)=cos(πx/2).上面所举的2个特例一奇一偶,都符合题意，所以A和B都错.这2個反例函数的图像见下图,他们都关于(-1,0)和(1,0)这两个点对称.

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