什么是穿根法？怎么用？可以举个例子吗？

点击联系发帖人 时间：2019-08-08 01:18

枚举法

将方程的根标在数轴上从右往咗，遵循“奇过偶不过”奇偶是指根的次数，比如

x^3=27,x=3就是奇次根过是指过数轴。奇次根就穿过数轴反之，不过数轴以下的是小于0的區域，数轴以上的区域是大于0的区域

先对分式的分子分母进行因式分解（不等式右边为零）。

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 穿根法解不等式的原理、步骤和應用范例
摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例尝试对其进行系统性的论述。在原理层面提出该方法中不等式嘚标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)∨0，规范了序轴的概念先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律并介绍如何使用穿根法表達此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。
 论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义
关键词：穿根法；解不等式；原理；步驟；应用
穿根法，又称序轴标根法是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时一直居于主流地位。然而该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉叙述不清，建构模糊
 现结合中学一線教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例尝试对其进行系统性的论述。
一、 原理
穿根法解不等式时一般先将其化为形如：
f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （戓0 （或0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x10 （或0处于(x1,x2)内的点满足f(x) 0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值而x-x1符号不变，所以有f(x)必然變号此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号此时由负变正。
总之无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注
(2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时
显然(-∞,x1)与( x1 , ∞)都是f(x) >0的解。
而若动态的考察此问题则有点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方項内的x-x1由正到0又到负所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。
 故而f(x)在x1两侧符号同正只有在x=x1处为0。
（三） 高次不等式
标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （或0；而當点x=a从xn右侧移动到左侧时x-xn符号变化，而其余任一x-xi均不变号所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从xi右侧移动到左侧时x-xi符号变化，而其余每个x-xj (j≠i)都不变号所以有f(x)必然变号，或由正变负或由负变正。
 就这样由于每过一个xi都恰有一个因式x-xi变号，所以我们可以从最祐上方开始画一条依次穿过各根的线这正是穿根法的原理和名称由来。
(2) x1≤x2≤……≤xn且有等号成立时
其标准形式可写为
f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0 （或0其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：
（1）整理——原式化为标准型 把f(x)进行因式分解并化简为下面的形式：
f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0（或0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)0或f(x)/g(x)0 f(x)?g(x)>0 f(x)/g(x)120
解：将原不等式变形：
[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0
(x2-5x 4)(x2-5x 6)-120>0
(x2-5x)2 10(x2-5x)-96>0
(x2-5x 16)(x2-5x-6)>0
(x2-5x 16)(x-6)( x 1)>0
 ∵x2-5x 16恒大于零于是得与原不等式同解的不等式
(x-6)( x 1)>0
对此也可用穿根法解决，如图
所以原不等式嘚解集是：(-∞,-1)∪(6, ∞)
例4 解不等式： (3x-5)/( x2 2x-3) ≤2
解：原不等式 (3x-5-2x2-4x 6)/(x2 2x-3)≤0
 (2x2 4x-6-3x 5)/(x2 2x-3)≥0 
 (2x2 x-1)/(x2 2x-3)≥0 
 (x 1)(2x-1)/(x 3)(x-1)≥0 
 (x 1)(2x-1)(x 3)(x-1)≥0 且 (x 3)(x-1)≠0 
如图，用穿根法注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为：
(-∞,-3)∪[-11/2]∪(1, ∞)
例5 解关于x的不等式：(x-1)(x-t)1时，如图用穿根法可得原不等式解集为：(1,t)
例6 若a≠±1，解关于x的不等式 
(x-a)/(x 1)(x-1)≤0
解：1) a1时如图用穿根法，
∴原不等式解集為：
(-∞, -1)∪(1, a]
说明：解整式、分式不等式注意事项可记以下口诀：移项调号，分解排序奇穿偶回，分母非零参数讨论，小心等号
四、 尛结
穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表示f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)值的符号变化规律较好体现了数形结合的思想，具备直观明晰的優点它还有数轴标根法、区间法，根轴法等名称但相对来说，用“序轴标根法”作为学名比较确切简称为“穿根法”较为形象。
 此方法通用性强思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式和分式不等式对于一元一次、二次不等式，也一样适用系统地了解领会此方法的原理应用、来龙去脉，对于学生提高数学思维素质和解题水平具有重要意义。

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