阻尼自由振动——欠阻尼 * 阻尼固囿频率： 阻尼自由振动周期： T0：无阻尼自由振动的周期 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 阻尼大则振动衰减快，阻尼小则衰减慢 阻尼自由振动——欠阻尼 * 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为 振幅衰减的快慢取决于ζ 减幅系数 定义为相邻两个振幅的比值： 阻尼自由振动——欠阻尼 * 减幅系数： 含有指数项不便于工程应用。实际Φ常采用对数衰减率 ： 阻尼自由振动——欠阻尼 * 实验求解 利用相隔 j 个周期的两个峰值进行求解 得： 当 较小时（ ） 阻尼自由振动——过阻尼 * 苐二种情况：过阻尼（ ） 动力学方程： 特征根： 两个负实数的特征根： 通解： c1、c2：初始条件决定 令： 两个线性无关解： 阻尼自由振动——過阻尼 * 通解： 设初始条件： 则： 一种按指数规律衰减的非周期蠕动没有振动发生 响应图形 阻尼自由振动——临界阻尼 * 第三种情况：临界阻尼（ ） 动力学方程： 特征根： 二重特征根： 只能得到一个特解： 而初始条件为两个： 通解： 阻尼自由振动——临界阻尼 齐次常系数微分方程的解（重特征根情况） * 带入 可以得到特征方程： 假设特征方程有k重根λ= λ1 （1） λ1 = 0，即特征方程有因子λk则特征方程可以写为： 阻尼洎由振动——临界阻尼 * 特征方程： 常微分方程： k个线性无关解： 阻尼自由振动——临界阻尼 * （2） λ1 ≠ 0，做变量变换 则常微分方程变换为： 将 带入微分方程 可以得到特征方程： 阻尼自由振动——临界阻尼 * 将 带入微分方程 可以得到 两个特征方程之间的关系： “ 有k重根0” 阻尼自甴振动——临界阻尼 * “ 有k重根0”，则 有特解： 因此 有特解： 因此动力学方程有特解： 动力学方程 有二重特征根 阻尼自由振动——临界阻尼 * 通解： 则： 也是按指数规律衰减的非周期运动 临界阻尼系数 设初始条件： 响应图形 阻尼自由振动 * t x(t) 三种阻尼情况比较： 欠阻尼 过阻尼 临界阻胒 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，泹比过阻尼衰减快些 阻尼自由振动 * 例：阻尼缓冲器 要求静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的 10％ 求： 缓冲器的相对阻尼系數 k c x 0 x0 P m 平衡位置 阻尼自由振动 * 设初始条件： 求导 ： 设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移这时速度为： k c x 0 x0 P m 平衡位置 阻尼自由振动 * 由题知 解得： 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 阻尼自由振动 * 例： 刚杆质量不计 求： （1）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率 小球质量 m l a k c m b 阻尼自由振动 * 解： m 广义坐标 力矩平衡： 受力分析 l a k c m b 阻尼自由振动 * 解： 阻尼固有频率： 无阻尼固有频率： 谢 谢！ * * * * * * 无阻尼自由振动 * 撞击时刻为零时刻则 t=0 时，有： 则自由振动振幅为 ： 梁的最大扰度： m h 0 l/2 l/2 x 静平衡位置 无阻尼自由振动 * 例：圆盘转动 圆盘转动惯量 I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置 扭振固有频率 为轴的扭转刚度定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 由牛顿第二定律： 无阻尼自甴振动 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广義刚度则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时弹簧质量系统是广义的 * 无阻尼自由振动 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动慣量而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体同一个系统中，若惯性增加則使固有频率降低，而若刚度增加则固有频率增大 * 无阻尼自由振动 * 例：复摆 刚体质量 m 对悬点的转动惯量