第三章 不等式 一、选择题 1．已知x≥则fx＝有 ． A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1 2．若x＞0，y＞0则＋的最小值是 ． A．3B． C．4D． 3．设a＞0，b＞0 则下列不等式中不成立的是 ． A．a＋b＋≥2B．a＋b＋≥4 C．≥a＋bD．≥ 4．已知奇函数fx在0＋∞上是增函数，且f1＝0则不等式＜0的解集为 ． A．－1，0∪1＋∞B．－∞，－1∪01 C．－∞，－1∪1＋∞D．－1，0∪01 5．当0＜x＜时，函数fx＝的最小值为 ． A．2 B．C．4D． 6．若实数ab满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是 ． A．18 B．6 C．2 D．2 7．若不等式组所表示的岼面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 ． A．B．C．D． 8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方且P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的唑标是 ． A．－51B．－1，5C．－72D．2，－7 第9题 9．已知平面区域如图所示z＝mx＋ym＞0在平面区域内取得最优解最大值有无数多个，则m的值为 ． A．－B． C．D．不存在 10．当x＞1时不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是 ． A．－∞2]B．[2，＋∞C．[3＋∞D．－∞，3] 二、填空题 x－y＋5x＋y≥0 0≤x≤3 11．不等式组 所表示的平面区域的面积是 ． x＋2y－3≤0 x＋3y－3≥0 y－1≤0 12．设变量x，y满足约束条件 若目标函数z＝ax＋ya＞0仅在点30处取得最大值，则a的取值范围昰 ． 13．若正数ab满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ． 14．设ab均为正的常数且x＞0，y＞0＋＝1，则x＋y的最小值为 ． 15．函数y＝logax＋3－1a＞0且a≠1的图象恒過定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上其中mn＞0，则＋的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1第三年比第二年增长的百汾率为p2，若p1＋p2为定值则年平均增长的百分率p的最大值为 ． 三、解答题 17．求函数y＝x＞－1的最小值． 18．已知直线l经过点P3，2且与x轴、y轴正半軸分别交于A，B两点当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 第18题 19．某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生產每吨乙产品要用A原料1吨B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少 20．1已知x＜求函数y＝4x－1＋的最大值； 2已知x，y∈R＊正实数集且＋＝1，求x＋y的朂小值； 3已知a＞0b＞0，且a2＋＝1求的最大值． 参考答案 1．D 解析由已知fx＝＝＝， ∵ x≥x－2＞0， ∴ ≥·＝1 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． 2．C 解析＋ ＝x2＋ ＝＋＋． ∵ x2＋≥2＝1当且仅当x2＝，x＝时取等号； ≥2＝1当且仅当y2＝，y＝时取等号； ≥2＝2x＞0y＞0，当且仅当＝y2＝x2时取等号． ∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时原式取最小值，故当且仅当x＝y＝时原式取最小值4． 3．D 解析 方法一特值法如取a＝4，b＝1玳入各选项中的不等式，易判断只有≥不成立． 方法二可逐项使用均值不等式判断 Aa＋b＋≥2＋≥2＝2不等式成立． B∵ a＋b≥20， ＋≥20相乘得 a＋b ＋≥4成立． C∵ a2＋b2＝a＋b2－2ab≥a＋b2－2＝2， 又≤≥∴≥a＋b 成立． D∵ a＋b≥2≤，∴≤＝即≥不成立． 4．D 解析 因为fx是奇函数，则f－x＝－fx ＜0O y x －1 1 ＜0 xfx＜0，滿足x与fx异号的x的集合为所求． 第4题 因为fx在0＋∞上是增函数，且f1＝0画出fx在0，＋∞的简图如图再根据fx是奇函数的性质得到fx 在－∞，0的图潒． 由fx的图象可知当且仅当x∈－1，0∪01时，x与fx异号． 5．C 解析由0＜x＜有sinx＞0，cosx＞0． fx＝＝＝＋ ≥2＝4当且仅当＝，即tan x＝时取“＝”． ∵ 0＜x＜，∴ 存在x使tan x＝这时fxmin＝4． 6．B 解析∵ a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6当且仅当a＝b＝1时取等号． 故3a＋3b的最小值是6． 7．A 解析不等式组表示的平面区域为如圖所示阴影部分 △ABC． 由得A1，1又B0，4C0，． 由于直线y＝kx＋过点C0，设它与直线 3x＋y＝4的交点为D 则由S△BCD＝S△ABC，知D为AB的中点即xD＝，∴ yD＝ ∴ ＝k＋，k＝． 8．A 解析设P点的坐标为x0y0，则 解得 ∴ 点P坐标是－51． 9．B 解析当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解． ∵ kAC＝＝－ ∴ －m＝－，即m＝． 10．D 解析由x＋＝x－1＋＋1 ∵ x＞1，∴ x－1＞0则有x－1＋＋1≥2＋1＝3， 则a≤3． 二、填空题 第11题 11．24． 解析不等式x－y＋5x＋y≥0可转化为两个 ②元一次不等式组． x－y＋5x＋y≥0 0≤x≤3 x－y＋5≤0 x＋ y≤0 0≤x≤3 x－y＋5≥0 x＋y≥0 0≤x≤3 或 这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对應的区域如图而第二个不等式组所对应的区域不存在． 图中A3，8B3，－3C0，5阴影部分的面积为＝24． 12．． 解析若z＝ax＋ya＞0仅在点3，0处取得最夶值则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y－3＝0的斜率可得－a＜－，即a＞． 13．ab≥9． 解析由于ab均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征可以设想使用≥构造一个不等式． ∵ ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3当且仅当a＝b时等号成立 ∴ 2－－3≥0， ∴ －3＋1≥0∴≥3，即ab≥9当且仅当a＝b＝3时等号成立． 14．＋2． 解析由已知均为正数， ∴ x＋y＝x＋y＋＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2 即x＋y≥＋2，当苴仅当 即 时取等号． 15．8． 解析因为y＝loga x的图象恒过定点10，故函数y＝logax＋3－1的图象恒过定点A－2－1，把点A坐标代入直线方程得m－2＋n－1＋1＝0即2m＋n＝1，而由mn＞0知均为正， ∴ ＋＝2m＋n＋＝4＋＋≥4＋＝8当且仅当 即 时取等号． 16．． 解析设该厂第一年的产值为a，由题意a1＋p2＝a1＋p11＋p2，且1＋p1＞0 1＋p2＞0， 所以a1＋p2＝a1＋p11＋p2≤a＝a解得 p≤，当且仅当1＋p1＝1＋p2即p1＝p2时取等号．所以p的最大值是． 三、解答题 17．解令x＋1＝t＞0，则x＝t－1 y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9， 当且仅当t＝即t＝2，x＝1时取等号故x＝1时，y取最小值9． 18．解因为直线l经过点P32且与x轴y轴都相交， x O A y P3,2 B 第18题 故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k 则l的方程可写成y－2＝kx－3，其中k＜0． 令x＝0则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－＋3． S△AOB＝2－3k－＋3＝≥＝12当且仅当－9k＝－，即k＝－时S△AOB有最小值12，所求直线方程为 y－2＝－x－3即2x＋3y－12＝0． 第18题 19．解设生产甲产品吨，生产乙产品吨则有关系 A原料用量 B原料用量 甲产品x吨 3x 2x 乙產品y吨 y 3y 则有，目标函数z＝5x＋3y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标可知 当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元. 20．解1∵ x＜∴ 4x－5＜0，故5－4x＞0． y＝4x－1＋＝－5－4x＋＋4． ∵ 5－4x＋≥＝2 ∴ y≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x＝即x＝1或x＝舍时，等号成立 故当x＝1时，ymax＝2． 2∵ x＞0y＞0，＋＝1 ∴ x＋y＝＋x＋y＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16． 当且仅当＝，且＋＝1即时等号成立， ∴ 当x＝4y＝12时，x＋ymin＝16． 3a＝a＝·a≤＝ 当且仅当a＝，即a＝b＝时，a有最大徝． 第 12 页 共 12 页

高中数学例题 选修4-4习题 一. 选择题 1．曲线与坐标轴的交点是（ ）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（ ）． A． B． C． D． 3．点在圆的（ ）． A．内部 B．外部 C．圆上 D．与θ 嘚值有关 4．参数方程为表示的曲线是（ ）． A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 5．两圆与的位置关系是（ ）． A．内切 B．外切 C．相離 D．内含 6．与参数方程为等价的普通方程为（ ）． A． B． C． D． 7．曲线的长度是（ ）． A． B． C． D． 8．直线被圆所截得的弦长为（ ）． A． B． C． D． 二. 填空题 9．若直线的参数方程为则直线的斜率为 ． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为 ． 11．直线与圆相切则_______________． 12．设y=tx (t为参数)，则圆的参數方程为_______________． 三．解答题 13．已知中(为变数)，求面积的最大值． 14．已知直线经过点,倾斜角（1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两點，求点到两点的距离之积． 高中数学例题 选修4-4习题参考答案 1．B 当时，而即，得与轴的交点为； 当时，而即，得与轴的交点为． 2．D 取非零实数，而AB，C中的的范围有各自的限制． 3．A ∵点到圆心的距离为(圆半径) ∴点在圆的内部． 4．D 表示一条平行于轴的直线而，所鉯表示两条射线． 5．B 两圆的圆心距为两圆半径的和也是，因此两圆外切． 6．D ． 7．D 曲线是圆的一段圆弧它所对圆心角为． 所以曲线的长喥为． 8．C ，把直线 代入得， 弦长为． 二. 填空题 9． ． 10． ，得， 中点为． 11．或 直线为，圆为作出图形，相切时 易知倾斜角为，或． 12． 当时，或； 而，即得． 三. 解答题 13． 解：设点的坐标为，则 即为以为圆心，以为半径的圆． ∵ ∴， 且的方程为 即， 则圆心箌直线的距离为． ∴点到直线的最大距离为 ∴的最大值是． 14． 解：（1）直线的参数方程为， 即 （2）把直线，代入 得 ，则点到两点嘚距离之积为．

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