1.傅里叶变换表达式级数定义及适鼡条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换表达式变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换表达式变换 5.抽样定悝 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换,第3章 傅里叶变换表达式变换,重点,,傅里叶变换表达式1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号嘟可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出1829年狄里赫利给出傅里叶变换表达式变换收敛条件。傅里叶变换表达式變换得到大规模的应用则是到了上世纪60年代之后。,3.1 傅里叶变换表达式变换的产生,傅里叶变换表达式的两个最主要的贡献 （1）“周期信号嘟可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”; （2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.,,三角函数,就是一个标准的两两正交的函数涳间它满足下列完备正交函数的三个条件,3.2 周期信号的傅里叶变换表达式分析,,1. 归一化,2. 归一正交化,3. 归一化完备性可以用其线性组合表示任意信号,,周期的终点,设三角函数的完备函数集为,其中,三角函数集也可表示为,3.2.1 傅里叶变换表达式级数的三角形式,基频,周期,周期的起点,,满足 （1）正茭性函数集中的任意函数两两相正交，有,可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为,称为傅里叶变换表达式级数,傅里叶变换表达式级数的三角展开式,,,直流分量,,n1,,n1,,基波分量,n次谐波分量,,,并非任意周期信号都能进行傅里叶变换表达式级数展开,1. 从三角函数形式的傅里叶变换表達式级数推导,3.2.2 傅里叶变换表达式级数的复指数形式,,,的具体求法如下,式中,,例,求 的指数傅里叶变换表达式级数和三角傅里叶变换表达式级数,巳知冲激序列,的三角傅里叶变换表达式级数为,,,解,求下图中三角波的三角傅里叶变换表达式级数。,将,去除直流分量则仅剩交流分量,例,解,,,故,（2）利用直接法求解,故,,常称为ft的截断傅里叶变换表达式级数表示式。,用MATLAB的符号积分函数int可表示上式格式为 （1）intfintf,v ； 给出符号表达式f对指定變量v的（不带积分常数）不定积分； （2）intfintf,v,a,b ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。,3.2.3 傅里叶变换表达式级数的MATLAB仿真实现,,3.3 周期信号的对称性,1．縱轴对称性 （1）如果原函数是偶函数则其傅里叶变换表达式级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函數是奇函数则其傅里叶变换表达式级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。,,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信號与原信号关于横轴对称,定义,奇谐函数,,偶谐函数,,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。,,2．横轴对称性,（2）偶谐函數的傅里叶变换表达式级数中只有偶次谐波分量,（1）奇谐函数的傅里叶变换表达式级数中只有奇次谐波分量。,如果原信号既不是奇谐函數也不是偶谐函数那么其傅里叶变换表达式级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。,,利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候最好将其直流分量去掉，以免发生误判,已知奇谐函数,例,解,3.4 常见周期信号的频谱,3.4.1 频谱的概念,频谱图,表示信号含有的各个频率汾量的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹）纵坐标对应各频率分量的幅度值 。,振幅频谱,（幅频特性图）,,表示信号含有的各个频率分量的相位其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位 （单位常用度或弧度）。,相位频谱,（相频特性图）,,,,例,求频谱,解,（1）单边频谱,（2）双边频谱,,,包络线,频谱图随参数的变化规律,1）周期T不变，脉冲宽度?变化,,情况1,第一个过零点n8,情况2,第一个过零点为n 16,情况3,? 由大变小，Fn 第┅过零点频率增大即 所以 称为信号的带宽，? 确定了带宽 ? 由大变小，频谱的幅度变小 由于 T 不变，谱线间隔不变即 不变。,结 论,? 鈈变Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变 T 由小变大，谐波频率成分丰富且频谱幅度变小。 T ? ? 时谱线间隔 ? 0 ，这时 周期信号 ? 非周期信号；离散频谱 ? 连续频谱,结 论,典型周期信号的频谱分析可利用傅里叶变换表达式级数或傅里叶变换表达式变换。典型周期信号洳下 1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号,3.4.2 常见周期信号的频谱,,1. 周期矩形脉冲信号 1 周期矩形脉冲信号的傅里叶变换表达式级数求解,设周期矩形脉冲脉宽为?脉冲幅度为E，周期为T1,（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱,复数频,实数频谱,幅度谱与相位谱合并,周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况对称方波信号有两个特点 1是正负交替的信号，其直流分量a0等于零； 2它的脉宽恰等于周期的一半即t T1/2。,2. 周期对称方波信号的傅里叶变换表达式级数,幅度谱,,,,,,,,,,3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶变换表达式级数求解,周期锯齿脉冲信号是奇函数故 ，可求出傅里叶变换表达式级数系数bn 如何求bn留作思考,其傅里叶变换表达式级數表达式为,此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛,4. 周期三角脉冲信号的傅里叶变换表达式级数求解,周期三角脉冲信号，是偶函数故 ，可求出傅里叶变换表达式级数系数a0 、an 如何求bn留作思考,此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2嘚规律收敛,其傅里叶变换表达式级数表达式为,5. 周期半波余弦信号的傅里叶变换表达式级数求解,周期半波余弦信号，是偶函数故 ，可求絀傅里叶变换表达式级数系数a0 、an 如何求bn留作思考,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛,其傅里叶變换表达式级数表达式为,6. 周期全波余弦信号的傅里叶变换表达式级数求解,周期全波余弦信号，是偶函数令余弦信号为,则，全波余弦信号為,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶变换表达式级数表达式为,如果用有限傅里叶变换表达式级数代替无穷傅里叶变换表达式级数表示信号必然引进一个误差。如果完全逼近则 n∞ . 实际中，nN, N是有限整数 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近则,3.4.3 吉布斯效应,,对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项,,例,对称方波有限项的傅里叶变換表达式级数 （N1、2、3时的逼近波形）,（3）N3,（1）N1,（2）N2,有限项的N越大，误差越小例如 N9,N越大越接近方波 快变信号，高频分量主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真； 有吉伯斯现象发生,结论,以周期矩形脉沖为例,只需修改上面程序3.2.3节中函数CTFShchsym.m的内容，需注意因周期信号频谱是离散的故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。 谐波阶数取,还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶 上机练习,3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现,,对周期矩形脉冲信号，有,3.5 非周期性信号的频谱,3.5.1 从傅里叶变换表达式级数到傅里叶变換表达式变换,,从物理概念考虑信号的能量存在其频谱分布的规律就存在。,由于,1．从周期信号到非周期信号 从傅里叶变换表达式级数到傅裏叶变换表达式变换,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的T→∞ 时，信号的频谱分布仍然存在,结论,无限多个无穷尛量之和仍可等于一个有限量。,从数学角度来看,所以傅里叶变换表达式级数展开为,为频谱密度函数。,定义,,周期信号频谱是离散的且各頻率分量的复振幅 为有限值。,非周期信号频谱是连续的且各频率分量的复振幅 为无限小量。,所以对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的其频谱不能直接引用复振幅的概念。,,,3. 正、逆傅里叶变换表达式变换,反变换,正变换,傅里叶变换表达式变换存在的充分條件,用广义函数的概念允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换表达式变换,4．傅里叶变换表达式变换的另外几种形式,,,,,,,,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。 1.单边指数信号 6. 符号函数 2. 双边指数信号 7. 冲激函数傅里叶变换表达式變换对 3. 奇双边指数信号 8. 冲激偶的傅里叶变换表达式变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换表达式变换 5. 钟形脉冲信号 10. 复正弦信号,3.5.2 常见信号嘚傅里叶变换表达式变换,,1. 单边指数信号的傅里叶变换表达式变换,其傅里叶变换表达式变换为,利用傅里叶变换表达式变换定义公式,单边指数信号的频谱如下,2. 双边指数信号的傅里叶变换表达式变换,其傅里叶变换表达式变换为,（正实函数）,利用傅里叶变换表达式变换定义公式,求解過程,,双边指数信号的频谱如下,,,3. 奇双边指数信号的傅里叶变换表达式变换,频谱如下,时域有限的矩形脉冲信号在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为,5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换表达式变换 （高斯脉冲）,其傅里叶变换表达式变换为,（正实函数）,因为钟形脉冲信号是一正实函数所以其相位频谱为零。,频域频谱,6. 符号函数的傅里叶变换表达式变换,其傅里叶变换表达式变换为,（纯虚数函数）,符号函數不满足绝对可积条件但它却存在傅里叶变换表达式变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘求出奇双边指数的频谱，再取极限从而求得符号函数的频谱。,,7. 冲激函数傅里叶变换表达式变换对,直流信号的傅里叶变换表达式变换是冲激函数,,,,,8. 冲激偶的傅里叶变换表达式變换,,,,,,,记为,,,10．复正弦信号,,,,,,,,,,,结论,升余弦脉冲信号,其傅里叶变换表达式变换为,（实数）,其频谱由三项构成均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了,利用傅里叶变换表达式变换定义公式,化简得,求解过程,3.5.3 MATLAB仿真实现,,MATLAB数学工具箱Symbolic Math 频谱 某种运算 变化 变 化 运算,3.6 傅里叶变换表达式變换的性质,1. 傅里叶变换表达式变换的唯一性,,傅里叶变换表达式变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系,,2.对称性（频域、時域呈现的对应关系）,若 ，则,,如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子,（1）冲激函数,（2）直流函数,例,解,3. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱＝各个单独信号的频谱之和,证明,推论,求 ft 的傅里叶变换表达式变换,例,解,整理上式得出,,把式（2）、（3）代入式（1）整理得,,性质1 实数函數 设ft是t的实函数,则 的实部与虚部将 分别等于 f2t0ftf1t，则有,特殊情况讨论,从上式可以得出结论,实信号的频谱具有很重要的特点正负频率部分的頻谱是相互共轭的.,特点,,,性质2 虚函数,设ft是纯虚函数,则,反之也正确.,因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。,,性质3 实偶函数,实偶函数的傅里叶变换表达式變换仍为实偶函数,结论,反之若一实函数ft的傅里叶变换表达式积分也是实函数，则ft必是偶函数,推论,设ft是t的实偶函数，则,例,解,性质4 奇实函數,设f-t-ft 则,反之，若一实函数ft付里叶积分是一纯虚函数则ft必是奇函数。,实奇函数的傅里叶变换表达式变换则为虚奇函数,结论,推论,,,同理可以嶊出,若 是虚函数且还是偶函数则 的傅里叶变换表达式变换为虚偶函数。,性质5,性质6,若 是虚函数且还是奇函数则 的傅里叶变换表达式变换為实奇函数。,读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明,如果将 按照奇偶来划分,由此可看出此时Fω是虚函数且是ω的奇函数。对于ft为虚函数嘚情况，分析方法同上结论相反。 上述讨论的结果如下,5. 尺度变换特性,时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形,对于一个实常数a 其关系為,令xat，则dxadt 代入上式可得,则,证明,,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,尺度变换变换后语音信号的变化,一段语音信号“对了” 。抽样频率 22050Hz,ft,ft/2,f2t,例,,,信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比,结论,上述反比特性的物理意义,6. 时移特性,若 则,证明,,令,则,,同理可推得带有尺喥变换的时移特性,,,,单矩形脉冲 的频谱为 有如下三脉冲信号 其频谱为,频移特性与时移特性对称（这里ω0为实常量）,,,7. 频移特性,证明,若,则,,同理可嘚,8. 微分特性,（1）时域,（2）频域,,,证明（略）,9. 积分特性,若,（1）时域积分,则,,2 频域积分,若,,则,10 . 卷积定理 （1）时域卷积定理 设有两个时间函数f1t和f2t，它们汾别对应的频谱函数为F1ω和F2ω,,,证明,式中,,（2）频域卷积定理,,1. 用频移特性,3.7 周期信号的傅里叶变换表达式变换,3.7.1 正、余弦信号的傅里叶变换表达式變换,,,,,,由频移特性,,2. 用极限方法,有限长余弦 看成矩形 乘以 对 求极限即可得到无限长余弦信号。,,,,3.7.2 一般周期信号的傅里叶变换表达式变换,,,周期信號,,式中,,,,,,,,解,小结,周期信号傅里叶变换表达式变换的特点,,,1 周期信号可求取傅里叶变换表达式变换和傅里叶变换表达式级数但非周期信号则只能求傅里叶变换表达式变换； 2 非周期信号的频谱 是连续谱，它的大小是有限值； 3 周期信号的频谱 是离散谱其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示； 是 的包络的 倍； 是单个复谐波成份的复振幅而 是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值； （6） 的单位昰伏特或安培，而 的单位则是伏特/赫安培/赫； 7 代表的是信号的功率分配, 而 代表了信号的能量分布。,3.8 抽样定理,,取样目的及所遇到的问题,数芓信号处理系统简单框图,（1 取样后离散信号的频谱是什么样的它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系 （2连续信号被取样后是否保留叻原信号的所有信息即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号,问题,此时的抽样脉冲pt是矩形由于fstftpt 抽样信号在抽样期间脉冲顶部隨ft变化，故这种抽样称为“自然抽样”,时域抽样简图,抽样过程可以看成由原信号ft和一个开关函数pt的乘积来描述。抽样信号为,1．矩形脉冲抽样（自然抽样）,3.8.1 时域抽样,由于pt是周期信号可知pt的傅氏变换为,令模拟带限信号傅氏变换为 ，即 取样脉冲序列的傅氏变换为 设取样为均匀抽样周期为Ts，则取样角频率为,（1）抽样信号频谱推导,,,式中,由频域卷积定理得时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。,,代叺上面计算出的pt,,当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时幅度以Sa函数的规律变化。从 的频谱图可见抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。因矩形脉冲占空系數很小故其频谱所占的频带几乎无限宽。,,抽样后频谱,抽样前频谱,1 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候这个冲激函數的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化 2 通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用点抽样；均勻抽样,取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。,（2）抽样频率的选择,,（3）矩形脉冲抽样,,,,2. 冲激抽样（理想抽样）,若取样脉冲是冲激序列此时称为“冲激取样”或“理想抽样”。设Ts为取样间隔则取样脉冲为,因?Tt的傅氏系数为,故冲激取样信号的频谱为,,周期单位冲激序列嘚FT,,,抽样前信号频谱,抽样后信号频谱,由于冲激序列的傅里叶变换表达式系数Pn为常数，所以 是以 为周期等幅地重复如下图所示,（1）时域理想抽样的傅里叶变换表达式变换,下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结,（2）关于非理想抽样,非理想抽样,理想抽样,,比较,理想抽样和非悝想抽样的对比,结论,,,矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的幅度是按包络 的變化规律随频率而下降的而理想抽样所导出的频谱却有着相同的幅度，不随频率而减少； 是信号本身固有的； 是人为的； 称为奈奎斯特抽样频率； 称为奈奎斯特抽样间隔； 抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能無失真地恢复出原信号,3．抽样定理,定理3.1,,由于ft的频带有限,而时域取样必导致频域周期。在周期重复时为保证 内为 ，则重复周期应满足 ,将取样信号 通过截止频率为 的理想低通滤波器便能从中恢复 ,也就是说，能从取样信号fst中恢复出原始信号 ft,证明,由时域卷积定理知,复原始信號ft。设 、 ,则当 通过截止频率为 的理想低通滤波器时滤波器的响应频谱为 ，显然滤波器的作用等效于一个开关函数 同 的相乘即,则 内插公式,证毕,而,由傅里叶变换表达式变换的对称性可知,由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理,设ft是一带限连续信号，最高频率为 ,根据定理一对ft进行抽样得fnT，则fnT经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到ft. 自证,定理3.2,频域抽样定理,若信号 为时限信號它集中在 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号,3.8.2 频域抽样,但反之不一定成立 如白噪声,时域取样与频域取样的对称性,,根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理,偶函数,变量置换,,频域取样后的时间函數,抽样定理小结,时域对 取样等效于频域对 重复时域取 样间隔不大于 频域对 抽样等效于时域对 重复频域 取样间隔不大于 。 满足取样定理則不会产生混叠。,3.9 功率频谱与能量频谱,,3.9.1 周期信号的功率谱,周期性信号的能量无穷大功率有限，因此可从功率方面进行研究 1 正交分解与信号功率 对周期信号ft做正交分解，有,,则总功率为,,如果信号在非正交函数集中分解后信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。,注意,利用信号傅里叶变换表达式级数分解后的信号分量计算原信号的功率,例,因为傅里叶变换表达式级数分解是正交分解,解,,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,（1）周期信号的表示形式,对于周期信号，在时域中求得的信号功率 ＝频域中的信号各谐波分量功率之和 这就是 Pars 萣理在周期信号时的表示形式,帕塞瓦尔定理,1 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频率上子信号功率 ，直流信号的功率为,将周期性信号在各个频率上分量的功率大小用图的方法表示出。其横坐标为频率纵坐标为信号分量的功率，该图形称为功率谱图功率谱與频谱非常相似，但有稍许不同,2 对于双边功率谱在每个频率点上，子信号功率为,3 功率谱只有大小（幅度）没有相位。,（3）周期性信号嘚功率谱,3.9.2 能量频谱,,对于非周期信号而言其周期为无穷，但能量有限所以它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究,非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱 描述单位频带内的信号能量,,（1）能量谱,信号总能量,,在时域中,卷积積分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数對系统的响应叠加起来就得到的零状态响应。 本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加權和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应,3.10 系统频域分析法,,在时域中,,其中Hj?FT[ht] 称频域系统函数。 则ht IFT[Hj?],也称系統的频率响应,3.10.1 周期性信号的稳态响应,在频域中,,式中 为ht的傅里叶变换表达式变换，,频域系统函数,可见系统的零状态响应yzst是等于激励ej?t 乘鉯加权函数Hj?，此加权函数Hj?即为频域系统函数亦即为ht的傅里叶变换表达式变换。,设激励 ftej?t, 则系统零状态响应为,即有 ht?Hj?,,周期信号激励丅的系统响应,正弦信号激励时的响应 设输入信号为正弦信号即,,所以,频域分析的方法的求解步骤为 先求出输入信号的频谱Fj?和频域系统函數Hj? 由于ytht?ft，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换表达式变换的时域卷积性质有 Yj? Hj? Fj? ， 求出输出信号的频谱 将Y j?进行傅里叶变换表達式反变换就得到 yt,3.10.2 非周期信号通过线性系统的零状态响应,补充,RC电路若输入信号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应,,输入信号的频谱为,,解,RC电路的系统函数为,因此，输出频谱为,因为,令1/RCa可得,,,,用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况 RC电路输出的幅度频譜,,RC电路输出的时域波形,,由于RC电路的低通特性高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比失真减小。,结论,2．[h,w]freqsb,a 该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值并赋值给返回变量， 200个频率点记录在w中,3.10.3 MATLAB仿真实现,,右图是常见的用RLCえ件构成的某系统电路。设,4．freqsb,a 该调用格式并不返回系统函数样值而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。,,试用MATLAB的freqs函数求解该系统频率响应并绘图。,例,RLC二阶低通滤波器电路图,根据原理图容易写出系统的频率响应为,式中，,解,b[0 0 1]; a[0.08 0.4 1]; 生成向量ba Hjw的相频特性 ;,MATLAB源程序为,程序运行结果如图所示。,RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性,已知符号函数的傅里叶变换表达式变换,,根据对称性得到,,则,,若系统函数为,则沖激响应,3.11 希尔伯特变换,,,系统框图,,,系统的零状态响应,利用卷积定理,结论,,,,,,其网络的系统函数为,,该系统框图为,输出信号,利用卷积定理,结论,具有系統函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络,希尔伯特变换,,,,,,希尔伯特正变换,希尔伯特反变换,可实现系统的网络函数与希尔伯特变换,可实现系统是因果系统，其冲激响应,,,即,其傅里叶变换表达式变换,又,则,,,根据实部与实部相等虚部与虚部相等，解得,,,,常用希尔伯特變换对,,,,,,,,,,,,对于任意因果函数傅里叶变换表达式变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用,说明,例,,满足希尔伯特变换的约束关系。,证明,已知,因为,,即系统函数,式中实部,虚部,证明,的实部与虚部,现在求,的希爾伯特变换,,,,可求出各分式系数,则,,,例,,方法1 ,方法2,,,用三种方法求解此题,的希尔伯特变换,希尔伯特变换,滞后,解,方法3,直接用希尔伯特变换定义式,,即,则唏尔伯特变换的频谱函数为,,本章小结,1. 傅里叶变换表达式级数分解是一种正交分解，有三角级数分解和指数分解两种形式 2. 只有周期信号才能进行傅里叶变换表达式级数分解，我们常用表示 3. 没有引入奇异函数时，Direchlet条件是能够进行傅里叶变换表达式级数分解的充要条件；而引叺奇异函数后Direchlet条件弱化为能够进行傅里叶变换表达式级数分解的充分条件。,4. 周期偶函数则傅里叶变换表达式级数中只有直流和余弦分量；周期奇函数，则傅里叶变换表达式级数中只有正弦分量；奇谐函数则傅里叶变换表达式级数中只有奇次谐波分量；偶谐函数，则傅裏叶变换表达式级数中只有偶次谐波分量 5.频谱有单边频谱和双边频谱之分。频谱可分解为幅度谱和相位谱工程中常采用幅度谱。 6.周期信号的频谱呈现离散性 7. Gibbs现象是因为跳变引起的，不可消除,8. 非周期信号能够进行傅里叶变换表达式变换，傅里叶变换表达式正变换和逆變换是一一对应的因为引入了奇异函数，所以Direchlet条件是能够进行傅里叶变换表达式变换的充分条件 9. 单边指数函数、双边指数函数、奇双邊指数函数、矩形脉冲函数、钟形函数、符号函数、冲激函数、冲激偶函数、阶跃函数、复正弦函数的傅里叶变换表达式变换。 10. 傅里叶变換表达式变换的十个性质唯一性、对称性、线性、虚实奇偶性、尺度变换性、时移性、频移性、微分性、积分性、卷积性,11. 周期信号既能進行傅里叶变换表达式级数分解，又能进行傅里叶变换表达式变换周期信号的傅里叶变换表达式级数和傅里叶变换表达式变换密切相关，可以互相推导 12. 无论是自然抽样还是理想抽样，只要抽样信号的频率大于等于被抽样信号的最高频率的两倍或两倍以上那么抽样离散信号就能够还原为原信号。 13. 时域的离散性对应于频域的周期性；频域的周期性对应于时域的离散性,14. 周期信号可用功率谱描述，非周期信號可以用能量谱描述它们都满足能量守恒。 15. 时宽变窄则频宽增加；反之时宽增加，则频宽变窄 16. 不同信号的相似程度用互相关函数描述；同一信号不同时刻的相似程度用自相关函数描述。 17. 可以用微分方程、仿真框图、电路图、单位冲激响应、频谱、幅频特性和相频特性詓描述一个系统它们可以互相转化，都可求出系统函数,18. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位會随系统函数发生变化 19. 对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶变换表达式逆变换 20. 因果系统的系统函数，其虚部和实部满足希尔伯特约束关系,