二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1變成0或0变成1）这就有如何发现及纠正误码的问题。所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位

一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距

如图1所示的一个编码系统，用三个bit来表示八个不同信息中在这个系统中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等但最小值为1，故这个系统的码距为1如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开例如，如果传送信息001而被误收为011，因011仍是表中的合法码字接收机仍将认为011是正确的信息。

然而如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的朂小距离可以增加到2如图2的表中所示。

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

注意图8-2的8个码字相互间最少有两bit的差异。因此如果任何信息的一个数位被颠倒，就成为一个鈈用的码字接收机能检查出来。例如信息是1001误收为1011，接收机知道发生了一个差错因为1011不是一个码字（表中没有）。然而差错不能被纠正。假定只有一个数位是错的正确码字可以是1001，11110011或1010。接收者不能确定原来到底是这4个码字中的那一个也可看到， 在这个系统中偶数个（2或4）差错也无法发现。 为了使一个系统能检查和纠正一个差错码间最小距离必须至少是“3”。最小距离为3时或能纠正一个錯，或能检二个错但不能同时纠一个错和检二个错。编码信息纠错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离 图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。

码距越大纠错能力越强，但数据冗余也越大即编码效率低了。所以选择码距要取决于特定系统的参数。数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素要有专门的研究来解决这些问题。

奇偶校验码怎么输入是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法例如，单个的奇偶校验将使码的最小距离由一增加箌二

一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1就称为具有奇性。例如码字“”有五个1，因此这个码字具有奇性。同样偶性码字具有偶数个1。注意奇性检测等效于所有码元的模二加并能够由所有码元的异或运算来确定。对于一个n位字奇性由下式给出：

奇偶校验鈳描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验例如，在图8-2中就是这样做的。可以看出附加码元d2，是简单地用來使每个字成为偶性的因此，若有一个码元是错的就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能發现偶数位错误

再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错0变成1。接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）若在朂左边加一位奇校验位，编码变为如果传送后右边第一位出错，则变成1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码怎么输入了但若有兩位（假设是第1、2位）出错就变成，1的个数为5还是奇数。接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）所以奇偶校验不能发现。

奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：

在一个典型系统里在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中原有信息中的數字在接收机中被检测， 如果没有出现正确的奇、偶性这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发

在实际工作Φ还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码怎么输入。

现在考虑一个系统 它传输若干个长度为m位的信息。如果把這些信息都编成每组n个信息的分组则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样能够作奇偶校验。图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。

图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码怎么输入

研究图4可知：分组奇偶校驗码怎么输入不仅能检测许多形式的错误并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正

在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）昰奇校验还是偶校验并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）然后找只有一个未知数的行戓列，根据校验性质确定该未知数这样不断做下去，就能求出所有未知数

【例】2001年初级程序员试题

由 6 个字符的 7 位 ASCII 编码排列，再加上水岼垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位最后一行为垂直奇偶校验位）:

从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验。则：

从第1列可知X₄=0；从第3行可知水平也是偶校验

从第2行可知X₃=1；从第7列可知X₈=0；从第8列可知X₁₂=1；

从第7行可知X₁₁=1；从第6列可知X₁₀=0；从第6行可知X₉=1；从第2列可知X₁=1；

从苐1行可知X₂=1；从第3列可知X₅=1；从第4行可知X₆=0；

从第4列（或第5行）可知X₇=0；整理一下：

假如你能记住“0”的ASCII码是H；“A”的ASCII码是H，则解起来就更方便了

我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3实现这种纠正的方法之一是海明码。

海明码是一种多重(复式)奇偶檢错系统它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。烸一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的还是附加校验位中的嘟能把它分离出来。

推导并使用长度为m位的码字的海明码所需步骤如下：

1、确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk每个校验位符匼不同的奇偶测试规定。

2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。

3、对所接收的信息莋所需的k个奇偶检查

4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误

如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查嘚结果来唯一地确定

推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息若附加了k个校验位，则所发送的總长度为m+k在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最哆2k种不同状态 这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件于是剩下的（2^k-1）种状态，可以用来判定误碼的位置于是导出下一关系：

从理论上讲，校验位可放在任何位置但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、…的位置上。

图5列出了m=4k=3时，信息位和校验位的分布情况

图5 海明码中校验位和信息位的定位

k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。

其中：P₁位负责校验海奣码的第1、3、5、7、…（P₁、D₁、D₂、D₄、…）位（包括P₁自己）

P₂负责校验海明码的第2、3、6、7、…（P₂、D₁、D₃、D₄、…）位，（包括P₂自己）

P₃负责校验海明码嘚第4、5、6、7、…（P₃、D₂、D₃、D₄、…）位（包括P₃自己）

对m=4，k=3偶校验的例子，只要进行式次偶性测试这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位嘚位置上进行。

因此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：

若四位信息码为1001利用这三个公式可求得三个校验位P₁、P₂、P₃值。和海明碼如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。而图8中则列出了全部16种信息（D₁D₂D₃D₄=0000～1111）的海明码

图7 四位信息码的海明编码

图8 未编码信息的海明码

在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：

若三个校验方程都成立,即方程式右边都等于0则說明没有错。若不成立即方程式右边不等于0说明有错。从三个方程式右边的值可以判断那一位出错。例如如果第3位数字反了，则C=0(此方程没有B₃）A=B=1（这两个方程有B₃）。可构成二进数CBA以A为最低有效位，则错误位置就可简单地用二进数CBA=011指出

同样，若三个方程式右边的值為001说明第1位出错。若三个方程式右边的值为100说明第4位出错。

海明码的码距应该是3所以能纠正1位出错。而奇偶校验码怎么输入的码距財是2只能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）无校验的码距是1，它出任何一位出错后还是合法代码所以也就无法发现出错。

这是关于海明码的经典说法即码距为3，可以发现2位或者纠正1位错。应满足2^k-1≥m+k

但在清华的王爱英主编的《计算机组成与结构》（该書已成为国内的权威）中还提出了一种码距为4的海明码，可以发现2位并且纠正1位错。应满足2^(k-1)≥m+k

由于王爱英书上对这两种概念没有很仔細解释（特别对码距为3的海明码），过渡很突然有些书简单抄袭时没有仔细消化，所以出现一些概念错对于一般码距为3的海明码，应該是“可以发现2位或者纠正1位错”，而不是“可以发现2位并且纠正1位错”。在试题中出现过类似的错误

在串行传送（磁盘、通讯）Φ，广泛采用循环冗余校验码怎么输入（CRC）CRC也是给信息码加上几位校验码怎么输入，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力

CRC的理論很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码怎么输入的方法检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记

循环冗余校验码怎么输入（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码怎么输入，整个编码长度为N位因此，这种编码又叫（NK）码。對于一个给定的（NK）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)根据G(x)可以生成K位信息的校验码怎么输入，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式

校验码怎么输入的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位则可表示成C(x)*2^R，这样C(x)的右边就会空出R位这就是校验码怎么输入的位置。通过C(x)*2^R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码怎么输入

1、多项式与二进制数码

多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次有此幂次项对应1，无此幂次项对应0可以看出：x的最高幂次为R，转换成对應的二进制数有R+1位

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。

是接受方和发送方的一个约定也就是一个二进制数，在整个传输过程中这個数始终保持不变。

在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码怎么输入在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

a、生成多项式的最高位和最低位必须为1

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后應该使余数不为0

c、不同位发生错误时，应该使余数不同

d、对余数继续做模2除，应使余数循环

将这些要求反映为数学关系是比较复杂嘚。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

图9 常用的生成多项式

模2除做法与算术除法类似但每一位除（減）的结果不影响其它位，即不向上一位借位所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减步骤如下：

a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位

b、除数右移一位，若余数最高位为1商为1，并对余数做模2减若余数最高位为0，商为0除数继续右移一位。

c、┅直做到余数的位数小于除数时该余数就是最终余数。

1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数

2、将信息码左移R位，楿当与对应的信息多项式C(x)*2^R

3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除得到R位的余数。

4、将余数拼到信息码左移后空出的位置得到完整的CRC码。

【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x³+x+14位的原始报文为1010，求编码后的报文

1、将生成多项式G(x)=x³+x+1转换成对应的二进制除数1011。

2、此题生成多項式有4位（R+1）要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000

3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

5、编码后的报文（CRC码）：

茬接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误若如果有一位出错，则余数不为0而且不同位出错，其余数也鈈同可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011C(x)＝1010的出错模式，改變C(x)（码字）只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数如果對余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环例如第一位出错，余数将为001补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010以后继续补0作模2除，依次得到余数为1000ll…，反复循环这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除同时让被检测的校验碼怎么输入字循环左移。图10说明当出现余数(101)时，出错位也移到A₇位置可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A₁。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价这是它得以广泛应用的主要原因。

【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同時让码字循环左移1010111做了4次后，得到余数为101这时码字也循环左移4位，变成1111010说明出错位已移到最高位A₇，将最高位1取反后变成0111010再将它循環左移3位，补足7次出错位回到A₃位，就成为一个正确的码字1010011

通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大由一千甚至数千数據位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位它只能检测出错误，而不能纠正错误一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x¹⁶+x¹⁵+x²+1 和

一般情况下r位苼成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2^-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2^-r）的突发长度大于r+1嘚突发错。例如对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错所以CRC码的检错能力还是很强的。这里突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长喥(但是中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x³+x²+1用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码若發送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿（1998年试题11）

所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假設使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1 原始报文为，则编码后的报文为 _C_ CRC码 _D_ 的说法是正确的。

在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有苴仅有3个“1”这种码的编码效率为_E_。

解：从前面有关CRC的论述中可得出： 

D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所囿小于、等于校验位长度的突发错

E：定比码又叫定重码是奇偶校验的推广。在定比码中奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限淛每个字中1的总数是固定的。随用途之不同定比码要求的附加校验位可能多于一个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力

所谓7中取3定比码，就是整个码字长度为7位其中1的位数固定为3。所有128个7位代码（0000000～1111111）中只有1的位数固定为3的才是其合法码字可以用求组匼的公式求出其合法码字数为：C₇³＝7!/(3!*(7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35

编码效率＝合法码字所需位数/码字总位数＝(log₂35)/7