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作 者：韩 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章——
这篇文章的核心思想就是：我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 2012 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
时域：
频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
想看动图的同学请戳这里：
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
以及这里：
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
动图请戳：
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_and_transform.gif
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
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下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，回忆周期不连续，任你ZT、DFT，还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：
复数的物理意义是什么？
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
光波
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分？
6 分
没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
45 分
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…返回搜狐，查看更多
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下面是小编为大家收集的二年级上册数学期末考试卷，本文共9篇，仅供参考，欢迎大家阅读，一起分享。篇1：二年级上册数学期末考试卷二年级上册数学期末考试卷一、填空。1. 把12个☆平均分成3份，每份是( )个;12个☆，每4个分成一份，可以分成( )份。2. 100厘米=( )米 27米-9米=( )米3. 画一条3厘米长的线段，一般应从尺的( )刻度开始画起，画到( )厘米的地方。4. 一星期有7天，28天是( )星期。5. 右面的图形中有( )个角，其中有( )个直角。6. ( )里最大能填几?( )×49×( )7. 用下面的口廖写出四道算式。四七二十八 ( )×( )= ( )×( )=( )( )÷( )= ( )÷( )=( )8. 把6、7、8、9填在合适的□里。9. 在○里填上“>”、“35÷7○6 8×6○48 7×7○47 40÷5○710. 看图填空。白兔 7只是白兔的5倍黑兔
只?求黑兔的只数，就是求( )个( )是多少。列式是( )。二、计算。1. 口算。2×9= 40÷5= 8×1= 36÷9= 79-63= 21÷3= 5×4=5 3+20= 8×3= 25÷5=6×9= 64÷8= 48+52= 7×7= 42÷7=2. 列竖式计算。6×9= 72÷8= 65÷7=26+45+17= 85-27+30= 71-(65-43)=3. 计算下面各题。4×7+20= 2×2×4= 72÷9÷4=60-(30-15)= 6×7-30= 54+26-30=4. 列式计算(1) 7的6倍是多少?(2) 32是4的几倍?三、画图。1. 画出比6厘米短2厘米的线段。2. 从给出的起点，画直角。。四、应用题.1.同学们剪小旗，小黄旗有8面，小红旗的面数是小黄旗的3倍。 ?(先提出问题，再列式计算。)2.二年级(1)班的同学种了6行花，每行8棵，一共种了多少棵?3.小林家收南瓜7个，冬瓜42个，冬瓜的个数是南瓜的几倍?4.有35米白布，每5米做一条被单，可以做几条被单?5.操场上有一群学生,双来了男生、女生各7人，新来了多少学生?现在操场上共有43个学生原来有多少个学生?篇2：二年级上册数学期末考试卷一、填空。(28分)1、1米=( )厘米 45厘米-6厘米=( )厘米37厘米+5厘米=(
)厘米
23米-8米=( )米2、6个3相加，写成乘法算式是( )，这个式子读作( )。3、在下面的( )里最大能填几?( )×64×(
)7×( )4、在算式4×7=28中，4是( )，7是(
)，28是( )。5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。八九( ) ( )二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做( )颗。7、一把三角板上有( )个角，其中( )个是直角。8、算得积是18的口诀有( )和( )。9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“”、“=”。8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。(5分)1、9个相加的和是13。 ( )2、小强身高大约是137厘米。 ( )3、角都有一个顶点，两条边。 ( )4、计算48+29，得数大约是70。 ( )5、1米和100厘米一样长。 ( )三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里，5分)1、5个3相加是多少?正确的列式是(
)A、5+5+5=15 B、5+3=8 C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有(
)个。A、2
B、4
C、63、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩( )元。A、22 B、30 C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式( )。A、5×4 B、5×3+4 C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱( )次。A、3次 B、4次 C、6次四、计算。(26分)1、用竖式计算。(15分)90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。(8分)(1)5个6相加，积是多少? (2)9的3倍是多少?(3)一个因数是9，另一个因数是7，积是多少?(4)比67多29的数是多少?五、画一画。(8分)1、请在横线上画 表示下面算式的意义。5×23×42、以给出的点为顶点，画一个比直角大的角，并写出它各部分的名称。3、画一条比3厘米长4厘米的线段。六、数学广角。( 3 分)桌子上有钢笔、尺子、笔盒三种学具，三个人每人拿一种学具。小芳：我拿的不是笔盒。 小华：我拿的是尺子。 小飞：我拿的是……小芳拿的是( )，小飞拿的是( )，小华拿的是( )。七、用数学。(28分)1、丽丽每天写8个大字，一个星期能写多少个大字?(4分)2、我买5支玩具枪和1辆玩具汽车，一共要多少钱?(5分)9元 7元3、三年级植了8棵树，四年级植的树比三年级多15棵，五年级植的树是三年级的3倍。(9分)(1)四年级植了多少棵树?(2)五年级植了多少棵树?(3)三个年级一共植了多少棵树?4、根据表中的信息，制成统计图。(10分)昆虫名称人数8121046（人）121086420二年级(1)班同学喜欢的昆虫蜻蜓 蝴蝶 蝉 瓢虫 蜜蜂(1)二年级(1)班共有( )位同学。(2)喜欢( )的人最多，喜欢( )的人比喜欢(
)的少(
)人。(3)请再提一个数学问题，并解答。问题： ?解答：篇3：关于二年级数学上册期末考试卷及答案推荐一、填空(25分)1.20前面的第8个数是(12)。2.比9多4的数是(13)，1个十和8个一合起来是(18)。3.14里面有1个(十)和4个(一)4.写数九十一二十十八(9)(11)(20)(18)5.看图填空。(1)从左边数，第(2)、(6)和(8)个是，是第(4)个。(2)有(2)个,有(3)个,有(3)个.(3)比多(2)个6.看钟面填空。(8)时(9)时大约(3)时7.20和15中间的数是(16171819)(2分)8.按要求排顺序。(3分)(1)13,18,20,19,15,3(3)(13)(15)(18)(19)(20)(2)10,17,12,5,8,18(18)(17)(12)(10)(8)(5)二、在里填数。(12分)5+(6)=11(5)+9=14(12)-2=108+(8)=167+(8)=159-(9)=09+(5)=1410-8=(2)4+8=9+(3)(9)+9=184+9=(13)(5)+5=17-7[关于二年级数学上册期末考试卷及答案推荐]篇4：-二年级上册数学期末考试卷及答案（苏教版）一、填一填。(共31分)1. 6+6+6+6=( )×( )2、每盘苹果( )个，( )盘苹果，一共( )个。=3、( )里最大能填几?( )×44.5、在○里填上“>”、“9×6○50 3+3○2×3 1×7○0×75. 7×3=21,读作( )，其中7和3是( )数，21是( )6.两个数的积是64，和是( )7.把口诀填完整( )三十 ( )六十三 三七( )( )四十二 三三( ) ( )十八8.计算8×9和9×8时，用的乘法口诀是( )9. 看口诀写出两道乘法算式，再看算式写口诀五七三十五 算式：( )( )6×7=42 7×6=42 口诀：10、一个角有( )个顶点，( )条边。11. 写出各部分名称。二.祝你都算对(28分)1、口算(20分)5×5= 2×2= 2×8= 5×9= 4×6=7×3= 12+20= 6×6= 6×3= 89-34=6×9= 7×6= 75-68= 8×3= 8×0=6+6= 5×6= 7×7= 9+6= 5×1=2、用竖式计算(8)7×6= 9×5= 8×8= 5×7=三、选一选。(将正确答案的序号填在括号里)(6分)1、5个6相加的和列式是( )。①6+5 ②6× 5 ③5+5+5+5+52、7+7+7+7+7可以写成( )。① 7×4 ②7×5 ③7×63. 孙悟空吃了5个桃子，猪八戒吃了孙悟空的6倍，猪八戒吃了( )个桃子。① 25 ② 30 ③ 36四、解决下面问题。(共27分)1、二年级(1)班有9个小组，每个小组4个人，二年级(1)班一共有多少人(3分)2.小红一天在校学习6小时，一个星期在校学习多少小时?(4分)3、欢迎小动物(1) 填一填(每空3分，共计12分)只数(2)每张桌子周围最多坐7只小猴子，4张小桌子够小猴子们坐吗?(4分)4. 妈妈买来一些桃子，如果每篮装8个，可以装4篮。妈妈一共买来多少个桃子?(4分)答案一. 共31分，第1题1分，其余每空1分。1.4×6.2.3 4 12 3×4=123. 6 6 54. >= >5.7乘3等于21 因 积6.167.三四 七九 二十一 六七(三) 得九 二九(三六)8.八九七十二9.5×7=35 7×5=35 六七四十二10.一 两11.边 顶点 边二.1，口算 每个1分 25 4 16 45 24 21 32 36 18 55 54 427 24 0 12 30 49 15 52.竖式计算。每个2分。42 45 64三.选一选。共6分，每题2分②②②四.每空2分 2 2 2 3五.1.4×9=362.6×5=303.21 25 36 9 4×7=28 28>25 够坐4.8×4=32篇5：关于二年级语文上册期末考试卷参考一、看拼音写词语(24分)biǎoshìyǎnjīngpiāoyángzhùfúwēnnuǎndàoyǐngzhǐchuánzāihàimǎnyìbànwǎnhúlijiàoshì二、在正确的读音下打√(6分)兴(xīngxìng)奋上当(dàngdāng)淹没(mòméi)漂(piàopiāo)流弯曲(qūqǔ)好(hǎohào)奇三、形近字组词(8分)食体()观()值()良()休()现()直()四、在括号里填上合适的内容(15分)()()纷纷一本()()叫苦()()()()不息春()秋()绿树()()一()汽车一()歌声一()糖羡慕的()()的稻田()的毛衣亲切地()()地望仔细地()五、我会查字典(12分)字偏旁或部首再查几画音序音节浪群贫六、给句子加上合适的标点(3分)1、窗外那棵树上有一只小鸟在唱歌()2、明天你能和我一起去小刚家吗()3、天空的云朵一会儿像小鸡，一会儿像小马，多么好看啊()七、照样子写句子(6分)1、湖水像一面镜子。_____________________像________________________________。2、嫦娥奔月是神话故事，女娲补天也是神话故事。__________是______________，__________也是______________。3、例：他把小鱼扔进大海里。小鱼被他扔进大海里。他把教室扫得干干净净。__________________________________八、按原文填空(10分)1、远上寒山石径斜，。2、儿童相见不相识，。3、田野献上___________的果实，枫林举起___________的旗帜，蓝天飞着___________的鸽子，大海奏起____________的乐曲。4、一花独放不是春，。5、尺有所短，。九、阅读理解(5分)小闹钟我有个好朋友，就是放在我枕头边的小闹钟。它圆圆的身子、亮晶晶的脸、三根指针像三只小胳膊似的“滴答滴答”地转个不停，非常惹人喜爱。晚上睡觉时，小闹钟跟我说悄悄话;早上我睡得正香时，是它把我唤醒，催我上学。我真喜欢我的小闹钟!1、短文一共有个自然段。(2分)2、我知道短文中的“好朋友”指的是：。(1分)3、我会用“”画出写小闹钟样子的句子。(2分)十、写作(10分)同学们，这学期我们学习了日记，请同学们写一篇日记记录今天有什么记忆深刻的事情，注意写清楚事情经过，注意日记格式。学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。我们精心为大家提供的二年级语文上册期末考试卷，希望可以更好的帮助到大家。篇6：关于六年级数学上册期末考试卷人教版六年级上册数学期末试卷班级 姓名 成绩一、填空题1．九折表示（ ）是原价的（ ）%。2．5比8少（ ）%，5是8的（ ）%。3．利息=（ ）×（ ）×（ ）， 税款=（ ）×（ ）。4．8 ×5的意义是（ ）。5．4 和（ ）互为倒数，12米的 是（ ）。6．1 ÷ 的意义是（ ）。7．一个数的 是60，这个数的 是（ ）。8．一个圆的半径是3厘米，面积是（ ）。9．一个圆的周长是25.12厘米，这个圆的直径是（ ），面积是（ ）。10．把 米长的绳子平均分成6段，每段长（ ），每段占总长的（ ）。11．2 小时=（ ）小时（ ）分，50平方分米=（ ）平方米。12．王师傅加工的零件中，147个合格，3个不合格，合格率是（ ）。13．一根铁丝截去 正好截去25米，这根铁丝原长是（ ）。14．张师傅5天完成任务的 ，完成任务他需要（ ）。15．一个圆形花坛，直径是10米，这个花坛的一周长是（ ）。二、选择题1．8米的 与5米的 比较（ ）A、8米的 长 B、5米的 长 C、一样长2．一种商品原价400元，现按九折出售，现在的价格是（ ）A、350元 B、360元 C、370元3．甲数是40，乙数是50，乙数比甲数多（ ）%A、20 B、25 C、304．下列数中，最大的是（ ）A、的倒数 B、的 C、的18倍5．圆的半径扩大4倍，这个圆的面积扩大（ ）A、8 B、12 C、16三、脱式计算1． 口算。× = 1 ÷5= 0÷8 = － =3 ×4= 4÷ = 12÷5 = 12 ÷5=2． 求未知数X。8 ÷X=3 X÷5 = 0.21÷X=23． 计算。13 × ＋6 ÷16 1 ÷ × ÷62 ÷[（3 －1.5）×1.12]＋ （6 －3.75）÷（4 ＋7.5）×0.024． 文字题。比450多它的 的数是多少？ 比12的 多25的数是多少？一个数的2 倍是126，这个数的 是多少？5 与4 的差乘以1 ，积是多少？四、应用题1．某地去年早稻产量是500吨，晚稻产量600吨，晚稻产量比早稻增产几成？2．王叔叔购得三年期国库券4000元，年利率是4.18%，到期后可得利息多少元？3．一家商场，十月份的营业额是352.6万元，按营业税率5%计算，这个月应缴纳营业税多少万元？4．一个长方形土地，宽42 米，长是宽的2 倍，这块地的面积是多平方米？5．一列火车3 小时行220 千米，用同样的速度从甲地到乙地用了2 小时。甲乙两地的铁路长多少千米？6． 拖拉机2 小时耕地158 公顷，平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷？7． 果批发部卖出水果36000千克，还剩下总数的 ，水果总数是多少千克？8． 学校上个月的电费是96元，这个月比上个月节约 ，这个月的电费是多少元？9． 一份稿件，甲单独打用10小时，乙单独打用15小时，现在先由甲单独打4小时，再两人合打，还需要多少小时？10． 个环形，外圆直径30厘米，内圆直径20厘米，这个环形的面积是多少？11． 一个钟，分针长40厘米，1小时分针的尖端走动了多少厘米？别忘了再检查两遍。12．某乡去年的工业总产值8500万元，比去年多20%，去年的工业总产值是多少万元？[关于六年级数学上册期末考试卷]篇7：初一上册数学期末考试卷填空(每空1分，共30分)正方体是由____个面围成的，有_____个顶点，______条棱。圆柱是由_____个面围成的。如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作______。若a、=填空)在74中底数是_______，指数是_______，在(-2)3中底数是________，指数是______。(-1)=__________，(-1)=___________，-1=_____________。a的15%减去70可以表示为______________。如果立方体的边长是a，那么正方体的体积是________，表面积是_______。一个两位数的个位数是a，十位数字是b，请用代数式表示这个两位数是__________________。三角形的三边长分别是2x，4x，5x，这个三角形的周长是___________。三个连续偶数中，n是最小的一个，这三个数的和为_________。请说明下列各代数式的意义：6P：________________________________a2-b2：_______________________________。25a+12b：_________________________________。某商品的价格是x元，则1/2x可以解释为______________________。12、(1)0.25°=_____′_____″(2)1800″=_____′_____°13、周角=_______平角=________直角=_______度判断题(每题1分，共6分)1，有理数分为正数和负数。2、有理数的绝对值一定比0大。()3、-(3x-2)=-3x-2()4、8x+4=12x()5、3(x+8)=3x+24()6、3x+3y=6xy()[初一上册数学期末考试卷]篇8：五年级数学上册期末考试卷如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁的问题，为大家提供了五年级数学上册期末考试卷，希望同学们多多积累，不断进步!一、想想填填。1、如果在银行存入300元，记作+300元，那么取出200元，表示()元。2、小数点左边第二位是()位，计数单位是()，小数点右边第二位是()位，计数单位是()。3、把6243850000人改写成用“万人”作单位数是()，用“亿人”作单位并保留整数是()亿人。4、一个三角形的面积是120平方米，高是5米，底是()。和它等底等高的平行四边形的面积是()。5、5个0.01和6个1组成的数是()。6、一个两位小数四舍五入近似值是6.5，这个数最大可能是()，最小可能是().7、用1、2、3和小数点可以组成()个不同的两位小数，请你把这几个数按从大到小的顺序排列起来。()8、在()里填“>”或“0.93×7.2()7.219.5÷0.6()19.59、1.7公顷=()平方米80公顷=()平方千米二、慎思妙断。如何在充满激烈竞争的竞赛中取得好的成绩，大家最为关注的还是学习方法和复习资料。为大家提供了五年级数学上册期末考试卷，希望能够真正的帮助到大家。一、填空。1、12立方分米50立方厘米=()立方分米0.4升=()毫升2、14s18的比值是()，0.15s0.45化成最简单的整数比是()。3、12s()=34=18s()。4、在()里填上合适的计量单位。一小瓶墨水的容积约是60()，粉笔盒的体积约是1()，车用集装箱的体积约是70()，电冰箱的容积约是135()。5、学校要从五一、五二班抽出各班人数的15参加冬季越野比赛，五一班共有学生45人，五二班正好抽了10人。五一班应抽()人，五二班共有学生()人。6、用一根长24分米的铝丝做一个长3分米，宽2分米的长方体框架，做成的长方体框架的高是()分米。二、判断。(对的在括号里画“√”，错的画“×”)1、体积相等的两个正方体，它们的表面积也一定相等。()2、一个数除以分数，商一定大于被除数。()3、一只兔子体重2千克，一条鲸鱼体重34吨。兔子和鲸鱼体重的比是1s17。()三、选择正确答案的序号填在括号里。1、c÷d=1,a×b=1。根据这两个式子可以确定()。①c是倒数②d是倒数③a是倒数④a和b互为倒数⑤c和d互为倒数2、王振体重50千克，姐姐体重比王振多15千克，爸爸体重比王振多15。50×(1+15)求的是()。①姐姐的体重②爸爸的体重③既是姐姐的体重，又是爸爸的体重四、计算。1、解方程。49x+6=22x-35x=362、计算下面各题，能简算的要写出主要简算过程。16+58×41516+29+56+3916×23÷(45-815)〔1-(34-57)〕×79五、解决问题。王爷爷计划在承包的山地里种植果树。他买的果树苗种类和数量如下：桃树、杏树、枣树棵数的比是2s3s5，杏树24棵。梨树和苹果树一共360棵，梨树60棵。核桃树的棵数是苹果树的16。(1)桃树、杏树和枣树一共多少棵?(2)核桃树多少棵?以上就是为大家提供的五年级数学上册期末考试卷，会将相关内容及时发布，希望大家将收藏并及时点击查看最新信息!1、整数都比小数大。()2、10个百分之一是一个千分之一。()3、大于0.3而小于0.4的小数有无数个。()4、一个小数添上零或去掉零，这个小数的大小不变。()5、两个计数单位之间的进率为十。()三、精挑细选。1、9.579…保留二位小数是()。A、9.57B、9.58C、10.682、两个()的三角形可以拼成一的平行四边形。A、等底等高B、面积相等C、完全一样3、下面说法错误的是()。A、0不是正数，也不是负数B、三角形的面积是平行四边形面积的一半。C、两个面积相等的平行四边形不一定是等底等高的。4、3.8=100×()，括号里应填几?A、380B、0.38C、0.038四、计算园地。1、口算。0.76-0.6=3.7+3=1.8÷0.3=1.2×100=1-0.81=6.4÷0.02=2、竖式计算。12.86+7.28.5-6.697-3.840.26×0.316.9÷0.258÷0.643、怎样算简便就怎样算。3.1+25.78+6.90.25×4415.25+4.72+4.75+5.28〔0.5+(2-0.75)〕×1.6希望为大家提供的五年级数学上册期末考试卷，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!数学是一门基础学科，但对于学好其它课程也起着非常重要的作用，为大家特别提供了五年级数学上册综合测评试题，希望对大家的学习有所帮助!一、认真读题，谨慎填写。1、比0.56多3.5的数是()，()比4.5少0.56;5.6里有()个0.01;20.02是由()个1和2个()组成的。2、如果条形统计图的纵轴是用0.5厘米表示40人，那么4厘米应表示()人，若直条上标160人，那这个直条的高度应是()厘米。3、一个等腰直角三角形斜边长8cm，这个三角形的面积是()。4、按下面规定的运算顺序给算式添括号。(1)先减，后除，再乘：96÷2.1-1.9×0.6(2)先乘，后减，再除：96÷2.1-1.9×0.65、“小华2.5小时走了5千米”，用“2.5÷5”是求()，用“5÷2.5”是求()。6、在()内填上“>”、“0.45()0.45000.63()0.63÷0.047、换算单位。1.2公顷=()平方米6.05吨=()吨()千克30分钟=()小时6.4平方千米=()公顷8、把一个两位小数的小数点去掉，就是把这个数()倍，得到一个新的数，新数与原数的差是57.42，原来的两位小数是( )。篇9：关于八年级数学上册期末考试卷一、选择题(共6题，共12分)1、下列运算中，正确的是( ▲ )(A) (B)(C)2+ =2 (D)2、在下列方程中，整理后是一元二次方程的是( ▲ )(A) (B)(C) (D)3、已知点(1，-1)在 的图像上，则函数 的图像经过( ▲ ).(A)第一、二象限; (B)第二、三象限;(C)第一、三象限; (D)第二、四象限.4、下列命题中，是假命题的是( ▲ ).(A)对顶角相等 (B)互为补角的两个角都是锐角(C)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(D)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.5、已知：如图，在△ 中， ，BD平分 ， ，BD=2，则点D到AB的距离为( ▲ ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)6、在Rt△ABC，ACB=90，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为( ▲ )(A)25cm; (B) 5cm; (C)15cm; (D)10cm.二、填空题(共12题，共36分)7、把 化成最简二次根式是 ▲ ;8、关于x的方程 有两个相等的实数根，则m的值为 ▲ ;9、已知正比例函数 的图像经过第一、三象限，则a的取值范围是___▲___;10、如果函数 ，那么 = ▲ ;11、命题：同角的余角相等的逆命题是 ▲ ;12、到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ▲ ;13、已知直角坐标平面内两点 A(3，-1)和B(-1，2)，那么A、B两点间的距离等于 ▲ ;14、如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，DE交AC于F，交BC于G，若C=35，EFC=60，则这次旋转了 ▲15、三角形三边的垂直平分线的交点到 ▲ 的距离相等;16、在Rt△ABC中，C=90，AB=18，BC=9，那么B= ▲17、如图， ,请你再添加一个条件：▲ 使 ;18、已知直角三角形的两边长分别为5，12，那么第三边的长为 ▲ .三、简答题(共4题，共22分)19、(5分)计算： .20、(5分)解方程：解方程：21、(6分)已知一个正比例函数的图像与反比例函数 的图像都经过点A( )。求这个正比例函数的解析式.22、(6分)已知：如图，在△ 中， ，边 的垂直平分线 与 、分别交于点 和点 .(1)作出边 的垂直平分线 ;(2)当 时，求 的度数.四、解答题(共4题，共30分)23、(7分)某手机公司2010年的各项经营收入中，经营手机配件的收入为300万元，占全年经营总收入的20%. 该公司预计2012年经营总收入可达到2160万元，计划从2010年到2012年，每年经营总收入的年增长率相同，问每年经营总收入的年增长率是多少?24、(7分)已知：如图，在△ 中，点 是 边的中点， , ,垂足分别是点 、，且 .求证：平分 .25、(7分)如图，在矩形ABCD中，AB = 16cm，AD = 8cm，把△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点D处，DE交AB于点F.(1)求证：BF = DF;(2)求△BDF的面积.26、(9分)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.(1)△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化? 若没有变化，求出点E的坐标;若有变化，请说明理由.[关于八年级数学上册期末考试卷]★ 五年级上册数学期末考试卷★ 人教版二年级上册语文期末考试卷★ 五年级上册数学期末考试卷及答案★ 三年级上册期末考试卷试题★ 五年级上册英语期末考试卷★ 五年级上册语文期末考试卷★ 二年级语文下册期末考试卷★ 五年级下册数学期末考试卷★ 二年级下册数学期中考试卷★ 关于小学五年级的数学期末考试卷
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