数学建模练习与思考题64-第3页
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数学建模练习与思考题64-3
10次，具体数据为454，499，535，565；5.7建立耐用消费品市场销售量的模型；5.8根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对；5.9对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建；（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速；（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技；（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作；5.11假设某生物种群
10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为mol/m3。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度各为多少。5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量s(t)的下降速度与s(t)成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费a(t)成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立销量s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间?，且广告费为常数a，问s(t)如何变化？5.9 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。 5.10 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？5.11 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为N0的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数RE(t)而增长或衰减，即N(t)μeRE(t)t，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。5.12 只考虑人口的自然增长，不考虑人口的迁移和其它因素，纽约人口满足方程dN112dt?25N?25?106N 若每年迁入人口6000人，而每年约有4000人被谋杀，试求出纽约的未来人口数，并讨论长时间后纽约的人口状况。5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为5?108，当群体中生物很少时，每40mm增加一倍。若开始时动物分别为107和108，求2h后群体中动物的总数。5.14 某地有一池塘，其水面面积约为100?100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。（1）鱼的存活空间为1kg/m2；（2）每1kg鱼每需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg；（3）鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼； （4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为2kg；（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；（6）若q为鱼重，则此种鱼的售价为?0?a?/kg??q?0.2Q???6a?/kg??0.2￡q?0.75?8?a/kg??0.75￡q?1.5??10?a/kg?1?.5￡q￡2（7）该池内只能投放鱼苗。5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾．设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长l．建立单 位时间内人工肾带走废物数量的模型．血管 血液流动方向薄膜 人工肾
液体流动方向 5.16 在鱼塘中投放n0尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加.（1）设尾数n(t)的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比．分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解．（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量n?n表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)．问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大. 5.17 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．(1)比较Logistic模型与Gompertz模型：dndt???nlnnN，其中n(t)是细胞数，N是极限值，?是参数．(2)说明上述两个模型是Usher模型：dn??n(1?(n)?dt?N)的特例．5.18
药物动力学中的
Michaelis-Menton
模型为dxdt? ?kxa?x（k,a?0），x(t)表示人体内药物在时刻t的浓度．研究这个方程的解的性质.（1）对于很多药物(如可卡因)，a比x(t)大得多，Michadis-Menton方程及其解如何简化．（2）对于另一些药物(如酒精)，x(t)比a大得多，Michaeli-Menton方程及其解如何简化．5.19 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积V（以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以x(t)记在任一时刻t每立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称它为污染浓度。令r记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的5%？5.20 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。5.21 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行隔年更为严重。（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P传染给被感染者。（2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改，因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。（3）估计你的模型中的参数以拟合0.5周期的潜伏期及2年的周期流行的观察结果。估计出的参数值是否实际？5.22 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。若某受试者的测试数据如下： 试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。5.23 给狗一次快速静脉注射常咯啉20mg/kg，测得血药浓度的动态数据如下： 利用这些数据估计有关二室模型的参数。5.24 多数药物是口服或静脉注射的，并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物是磺胺嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O表示口服，I表示静脉注射，第2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？药物动态数据 5.25 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹病流行，生物学家H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。 5.26 在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水。试建模描述这两个湖的污染情况。如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了。试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。 5.27 下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析。 5.28 一家环境保护示范餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料，餐厅每天将剩余的食物制成浆状并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这些混合原料，变成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力添加新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产。试通过分析以前肥料生产记录（表），建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生成的建议。 第6章
稳定性模型 6.1 一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续的捕捞作业，单位时间的产量与渔场的数量成正比，比例系数为k，试建立描述该渔场的数量的数学模型，并讨论如何控制k使渔场的鱼资源保持稳定。6.2 与Logistic模型不同的另―种描述种群增长规律的是Gompertz模型：dxdt?rxlnNx其中r和N的意义与Logistic模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度E*m和渔场鱼量水平x0.6.3 Smith F E曾提出过一个在有限食物中的生物种群增长的一个简单的模型。这个模型是基于对某种昆虫的实验而提出的。与Logistic模型一样，种群个体的增长率正比于可获得的食物fa与用以维持生存的食物消耗量fc之差，即N?N??(fa?fc) 以前假设fc正比于种群的个体数，Smith提出当种群处于增长状态时，为了存活将需要更多的食物，从而他给出了模型fc?BN?rN其中r?0为常数，试给出Smith研究的种群动态的模型，讨论它的平衡态及其稳定性。包含各类专业文献、文学作品欣赏、外语学习资料、生活休闲娱乐、应用写作文书、行业资料、各类资格考试、数学建模练习与思考题64等内容。　
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