您好，欢迎来到捷配电子市场网
您现在的位置： &
型号/规格：SA.45S品牌/商标：SYMMETRICOM产地：瑞士包装：单独
3000多家会员为您找货报价，SO EASY！
金牌会员 第 9 年
类型：经销商
联系人：刘小姐
地址：广东深圳深圳市福田区国企大厦A20H
(1)N (1) (3) (29) (7) (1) (11) (329) (4) (5) (5) (3) (5) (1) (45)
SA.45s是一款由美国Symmetricom, Inc. 生产的芯片级原子钟，是目前已知成功商用最小的原子钟。其功耗低至 &115 mW，体积只有&16cc
SA.45s输出标准10MHz及1 PPS信号，短稳阿伦方差）：2E-10 @1s，长期老化3E-10/月，温度特性5E-10（-10°C~+70°C）。可选择宽温产品（-40°C ~ +85°C）。
? 1PPS同步输入/输出
? RS-232管理控制接口
? 超低功耗模式，&100 mW
主要用于：
? 水下传感器网络
?GPS接收机
?反简易爆炸装置
(Anti-IED)干扰系统
?独立传感器网络
?无人驾驶飞行器
类型：经销商
联系人：刘小姐
地址：广东深圳深圳市福田区国企大厦A20H
你可能感兴趣的产品
提示：您在捷配电子市场网上采购商品属于商业贸易行为。以上所展示的信息由卖家自行提供，内容的真实性、准确性和合法性由发布卖家负责，请意识到互联网交易中的风险是客观存在的。请广大采购商认准带有捷配电子市场网认证的供应商进行采购！
电子元器件产品索引： &B&&&&F&&&&J&&&&N&&&&R&&&&V&&&&Z&&&&3&&&&7&&2014年David Huse写了一篇非常好的review文章&br&many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics&br&&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&主要观点是，对于一个trivial的高能态(不是本征态)，经过一段时间演化后会thermalize。但是我们知道，所谓的thermalize，就是达到平衡态，是对一个ensemble定义的，一个纯态怎么能达到平衡态呢？&br&&br&一个非常聪明的办法就是把这个体系分成两部分A+B，只看其中一部分的时间演化，看看它是不是符合平衡态的特征。这个时候，我们就可以看几个特点，一个是ergodicity，另一个就是子体系A的熵。那么在整个体系是纯态的时候，没有thermal的熵，就只有纠缠熵(entanglement entropy)了。如果要和统计力学上的平衡态表现一致，纠缠熵就必须符合所谓的&volumn law&，和子体系的体积成正比。&br&&br&MBL是指在一个interacting, disorder的系统中的这样的高能态不会thermalize，量子系统中的local observable不会在时间演化中丢失，这个时候纠缠熵也就不再满足&volumn law&，而符合量子系统的&area law&了。&br&&br&这样我们对一个体系做时间演化，计算一下纠缠熵与子体系尺度的scaling，就能判断是不是发生MBL了。&br&&br&纠缠熵这个概念最早起源于量子信息，但最近在凝聚态理论中有很多应用，MBL算是之一。&a data-hash=&6e40b3de50000decaef2af26c4fccc3e& href=&///people/6e40b3de50000decaef2af26c4fccc3e& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Minglei Xiao& data-hovercard=&p$b$6e40b3de50000decaef2af26c4fccc3e&&@Minglei Xiao&/a&提到的AdS/CFT是另外一个。&br&&br&除此之外还可以探测topological order。在一般的gapped system中基态纠缠熵符合area law的，&img src=&///equation?tex=S%5Cpropto+L%5E%7Bn-1%7D& alt=&S\propto L^{n-1}& eeimg=&1&&，和子体系的表面积成正比，而不是和体积成正比，这是因为gapped system的correlation function是exponential decay的。那么在有topological order的体系里，一般存在hidden long range order，这个时候就有&img src=&///equation?tex=S%3D%5Calpha+L%5E%7Bn-1%7D-%5Cgamma& alt=&S=\alpha L^{n-1}-\gamma& eeimg=&1&&，通过确定常数&img src=&///equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&&，还可能判断是什么样的topological order。&br&&br&再比如一维体系通常用密度矩阵重整化(DMRG)可以数值计算，但是在gapless，critical这些体系中效果确不好。因为在通常的一维体系中的area law，因为area是常数，所以纠缠熵也是常数，正好适于DMRG处理。而在gapless和critical的体系里&img src=&///equation?tex=S%5Cpropto+L%5E%7Bn-1%7D%5Cln+L& alt=&S\propto L^{n-1}\ln L& eeimg=&1&&，随着体系尺度增大DMRG就处理不了了，这时MERA因为它的树状结构和和disentangler，正好适合处理这样的scaling： 如果把一个MERA切成两部分，留下的dangling bond正好是&img src=&///equation?tex=L%5E%7Bn-1%7D%5Cln+L& alt=&L^{n-1}\ln L& eeimg=&1&&个。这个问题当然也可以用correlation function来解释。
2014年David Huse写了一篇非常好的review文章 many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics
主要观点是，对于一个trivial的高能…
推荐一篇非常不错的文章：&br&《1天搞懂深度学习》，300多页的ppt，一个台湾人写的，非常棒。&br&不夸张地说，是我看过最系统，也最通俗易懂的，关于深度学习的文章。&br&&br&这是slideshare的链接：&br&&a href=&///?target=http%3A//www.slideshare.net/tw_dsconf/ss-Fqid%3D108adce3-2c3d-d0a57e46bc%26v%3D%26b%3D%26from_search%3D3& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&slideshare.net/tw_dscon&/span&&span class=&invisible&&f/ss-?qid=108adce3-2c3d-d0a57e46bc&v=&b=&from_search=3&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&没梯子的同学，可以从我的网盘下：&br&链接：&a href=&///?target=http%3A///s/1nv54p9R& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/s/1nv54p9&/span&&span class=&invisible&&R&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 密码：3mty&br&&br&需要做哪些准备？个人感觉，把求偏导，sigmoid函数之类的数学基础准备一下即可。其他部分，如有不懂的地方，比如SGD， mini batch epoch之类的概念，网上查一下即可，应该问题不大。&br&&br&----------------------------------------------------------------&br&有朋友留言，希望提供更为详细的信息。关于如何入门，请参考我在另一个类似问题中的回答:&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/2600&/span&&span class=&invisible&&6703/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&----------------------------------------------------------------&br&&br&祝学习顺利！
推荐一篇非常不错的文章： 《1天搞懂深度学习》，300多页的ppt，一个台湾人写的，非常棒。 不夸张地说，是我看过最系统，也最通俗易懂的，关于深度学习的文章。 这是slideshare的链接：
微分几何&br&如果真的是很基础很基础的入门书，强烈推荐introduction to smooth manifolds by John Lee。这本书非常浅显易懂，并且克服了太多微分几何书里大量的abuse of notations（不是说这样不好，只是对于初学者太多abuse of notations很抓狂），然后基本上所有的details都写出来了。这本书本身涵盖了lie groups和lie algebra一些初等的知识，还有de rham cohomology之类的。事实上这本书可以成为你基础流型知识的字典。在读完这本书的基础上再看其他书都比较好。就不细说了。&br&&br&&br&李群李代数&br&李代数推荐看humphrey的书，比较浅显易懂，这本书之后有一本很厚的书：lie groups beyond introduction，基本上涵盖了这个领域里很多重要结果，甚至有些结果其他书找不到，但是不好读。&br&&br&&br&同调论&br&这个应该先从代数拓扑入手。我个人实在不喜欢hatcher，然后恰好博一的代数拓扑课用的是hatcher，再加上老师让人无语（曾经临下课五分钟对我们说，对不起我前面说的都是错的，下节课我补回来，然后逃了），导致我很长时间代数拓扑很差。我基本用rotman的书，这本书好处是categorical language用的比较多，反观hatcher连acyclic model还有eilenberg-ziler map都没说。然后我学poincare duality用的milnor的示性类里面的appendix，后面cohomology products用了bredon的rotman结合，所以很杂。&br&&br&有了这个基础再看同调代数就会好很多，可以看rotman的同调代数，weibel也可以。前者容易读一些，后者也不错。
微分几何 如果真的是很基础很基础的入门书，强烈推荐introduction to smooth manifolds by John Lee。这本书非常浅显易懂，并且克服了太多微分几何书里大量的abuse of notations（不是说这样不好，只是对于初学者太多abuse of notations很抓狂），然后基本…
&p&泻药。&/p&&p&&br&&/p&&p&研究一个数学对象，你不能够只看这个数学对象本身，而应该看这个数学对象和其他同类对象的联系。举个最简单的例子：线性空间（更一般的可以是模或者甚至阿贝尔范畴）。对于线性空间而言，最重要的是看线性空间的之间的态射 &img src=&///equation?tex=f%5Ccolon+V%5Cto+W& alt=&f\colon V\to W& eeimg=&1&& 。如果这个态射不是满射，那么这个态射就分解成了两个态射，一个是 &img src=&///equation?tex=f%5E%5Cprime%5Ccolon+V%5Cto%5Cmathrm%7Bim%7D%28f%29& alt=&f^\prime\colon V\to\mathrm{im}(f)& eeimg=&1&& 和一个包含映射 &img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bim%7D%28f%29%5Chookrightarrow+W& alt=&\mathrm{im}(f)\hookrightarrow W& eeimg=&1&& 。我们可以继续问这个 &img src=&///equation?tex=f%5E%5Cprime& alt=&f^\prime& eeimg=&1&& 是不是单射。如果不是，那么原因自然是有些不同的点被映射到了一个点，因此我们必须想办法把这些点都粘合在一起以达到单射，那么结果便是得到了一个新的映射 &img src=&///equation?tex=%5Cbar%7Bf%7D%5Ccolon+V%2F%5Cmathrm%7Bker%7D%28f%29%5Cto%5Cmathrm%7Bim%7D%28f%29& alt=&\bar{f}\colon V/\mathrm{ker}(f)\to\mathrm{im}(f)& eeimg=&1&& 。显然这个映射必须是双射，因此必须是同构。&/p&&p&&br&&/p&&p&如果问商空间如何研究代数结构，我想说这是个很重要的途径：你可以把商这个构造应用到任何映射当中得到一个同构。而同构是什么？同构反应的就是两者结构完全一样。反过来也是如此。这个基本上显然的定理实际上非常非常的重要。其重要程度反映在定义阿贝尔范畴中的某个公理上。一个范畴是阿贝尔范畴除了要求这个范畴是可加的，要求有核和余核，一个非常非常重要的要求是余像和像同构。而余像和像同构翻译在线性空间中就是第一同构定理。阿贝尔范畴中所有的性质都可以通过这个很重要的公理辅助其他公理推得，因此其重要性和威力可见一斑。&/p&&p&&br&&/p&&p&实际上这样的思维方式还有很多。题主已经提到了群论里面我们可以这样构造。实际上在拓扑里我们也可以这样构造。考虑一个 &img src=&///equation?tex=f%5Ccolon+X%5Cto+Y& alt=&f\colon X\to Y& eeimg=&1&& 的连续映射，我们要求这个映射是商映射。那么我们有同胚 &img src=&///equation?tex=%5Cbar%7Bf%7D%5Ccolon+X%2F%5Cmathrm%7Bker%7D%28f%29%5Cto+Y& alt=&\bar{f}\colon X/\mathrm{ker}(f)\to Y& eeimg=&1&& ，当然这里核的定义有些不一样。&/p&&p&&br&&/p&&p&我的这个回答没有办法正面直接告诉题主“如何用于研究代数结构”，我能告诉题主的是商是一个应用极为广泛的构造。如果题主还在学习基本的理论，那么这些基本的核心的构造会成为任何一个人不可或缺的工具。这些工具都是理解一个代数结构所必须的。&/p&
泻药。 研究一个数学对象，你不能够只看这个数学对象本身，而应该看这个数学对象和其他同类对象的联系。举个最简单的例子：线性空间（更一般的可以是模或者甚至阿贝尔范畴）。对于线性空间而言，最重要的是看线性空间的之间的态射 f\colon V\to W 。如果这…
&p&简单地说，路径积分就是薛定谔方程： &img src=&///equation?tex=i%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Chat%7BH%7D%5Cpsi& alt=&i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi& eeimg=&1&& 的解。&/p&&p&&br&&/p&&p&作为态矢空间的Hilbert space &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BH%7D& alt=&\mathcal{H}& eeimg=&1&& ，其中态随时间的演化由单参强连续酉算子群： &img src=&///equation?tex=U%28t%29%3De%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7Dt%7D& alt=&U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}& eeimg=&1&& 描述。这里的自伴算子 &img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7B%5Chat%7BH%7D%7D%7B%5Chbar%7D& alt=&-\frac{\hat{H}}{\hbar}& eeimg=&1&& 即为酉算子群的生成元。现在，在 &img src=&///equation?tex=t%3Dt_0& alt=&t=t_0& eeimg=&1&& 时刻给定态 &img src=&///equation?tex=%5Cpsi%28r%2C0%29& alt=&\psi(r,0)& eeimg=&1&& ，薛定谔方程的解（即态的演化）为： &img src=&///equation?tex=%5Cpsi%28r%2Ct%29%3DU%28t%29%5Cpsi%28r%2C0%29%3De%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7Dt%7D%5Cpsi%28r%2C0%29& alt=&\psi(r,t)=U(t)\psi(r,0)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\psi(r,0)& eeimg=&1&& 。也就是说，给定系统的 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7BH%7D& alt=&\hat{H}& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Cpsi%28r%2C0%29& alt=&\psi(r,0)& eeimg=&1&& ，只要求出了 &img src=&///equation?tex=U%28t%29& alt=&U(t)& eeimg=&1&& 我们就可以确定系统随时间的演化。接下来的任务就是要求 &img src=&///equation?tex=U%28t%29& alt=&U(t)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于许多量子力学问题， &img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7D%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2m%7D%5Cnabla%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7DV%28r%29& alt=&-\frac{i}{\hbar}\hat{H}=\frac{\hbar}{2m}\nabla^2-\frac{1}{\hbar}V(r)& eeimg=&1&& ，也就是说 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7BH%7D& alt=&\hat{H}& eeimg=&1&& 可以分解为两个相对简单的自伴算子的和。对于某个酉算子群 &img src=&///equation?tex=U%28t%29%3De%5E%7Bi%5Chat%7BA%7Dt%7D& alt=&U(t)=e^{i\hat{A}t}& eeimg=&1&& ，如果其生成元 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7BA%7D& alt=&\hat{A}& eeimg=&1&& 可以写成两个自伴算子的和 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7BA%7D%3D%5Chat%7BB%7D%2B%5Chat%7BC%7D& alt=&\hat{A}=\hat{B}+\hat{C}& eeimg=&1&& ，那么利用Trotter乘积公式可得： &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%28%5Chat%7BB%7D%2B%5Chat%7BC%7D%29t%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D%28e%5E%7Bi%5Cfrac%7Bt%7D%7Bn%7D%5Chat%7BB%7D%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7Bt%7D%7Bn%7D%5Chat%7BC%7D%7D%29%5En& alt=&e^{i(\hat{B}+\hat{C})t}=\lim_{n\to \infty}(e^{i\frac{t}{n}\hat{B}}e^{i\frac{t}{n}\hat{C}})^n& eeimg=&1&& （算子强极限下收敛）。将其应用在描述量子态演化的酉算子群上可得： &img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7Dt%7D%5Cpsi%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%28e%5E%7B%5Cfrac%7Bit%5Chbar%7D%7B2mn%7D%5Cnabla%5E2%7De%5E%7B-%5Cfrac%7Bit%7D%7Bn%5Chbar%7DV%28r%29%7D%29%5En%5Cpsi& alt=&e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\psi=\lim_{n\to\infty}(e^{\frac{it\hbar}{2mn}\nabla^2}e^{-\frac{it}{n\hbar}V(r)})^n\psi& eeimg=&1&& 。&/p&&p&考虑上式右边第一个酉算子群 &img src=&///equation?tex=U_1%28t%29%3De%5E%7B%5Cfrac%7Bit%5Chbar%7D%7B2mn%7D%5Cnabla%5E2%7D& alt=&U_1(t)=e^{\frac{it\hbar}{2mn}\nabla^2}& eeimg=&1&& ，这是描述自由粒子演化的一族酉算子，它的形式很容易得到： &img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Cfrac%7Bit%5Chbar%7D%7B2mn%7D%5Cnabla%5E2%7D%5Cpsi%28r_0%29%3D%28%5Cfrac%7Bmn%7D%7Bit%5Chbar%7D%29%5E%7Bn%2F2%7D%5Cint_%7BR%5E3%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7Bmn%7D%7B2%5Chbar+t%7D%7Cr_1-r_0%7C%5E2%7D%5Cpsi%28r_1%29dr_1& alt=&e^{\frac{it\hbar}{2mn}\nabla^2}\psi(r_0)=(\frac{mn}{it\hbar})^{n/2}\int_{R^3}e^{i\frac{mn}{2\hbar t}|r_1-r_0|^2}\psi(r_1)dr_1& eeimg=&1&& 。而第二部分的酉算子就是简单的乘积算子： &img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Cfrac%7Bit%7D%7Bn%5Chbar%7DV%28r%29%7D& alt=&e^{-\frac{it}{n\hbar}V(r)}& eeimg=&1&&。将这两部分带入上式可得： &/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7D%7D%5Cpsi%28r_0%29%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7DC%5Cint_%7B%28R%5E3%29%5En%7Dexp%5Clbrace%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cvarepsilon+%5Clbrack+%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7D%5Cvert%5Cfrac%7Br_j-r_%7Bj-1%7D%7D%7B%5Cvarepsilon%7D%5Cvert%5E2-V%28r_%7Bj-1%7D%29+%5Crbrack%5Crbrace%5Cpsi%28r_n%29dr_1%5Ccdot%5Ccdot%5Ccdot+dr_n& alt=&e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}}\psi(r_0)=\lim_{n\to\infty}C\int_{(R^3)^n}exp\lbrace\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^{n}\varepsilon \lbrack \frac{m}{2}\vert\frac{r_j-r_{j-1}}{\varepsilon}\vert^2-V(r_{j-1}) \rbrack\rbrace\psi(r_n)dr_1\cdot\cdot\cdot dr_n& eeimg=&1&& ，当 &img src=&///equation?tex=n%5Cto+%5Cinfty& alt=&n\to \infty& eeimg=&1&& 时可将上式化为： &/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7D%7D%5Cpsi%28r_0%29%3DC%5Cint_%7Ball+%7Dexp%5Clbrace%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D+%5Clbrack+%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cvert%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bds%7D%5Cvert%5E2-V%28r%28s%29%29+%5Crbrack+ds%5Crbrace%5Ccdot%5Cpsi%28r%28t%29%29%5Ccdot+d%5Cmu& alt=&e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}}\psi(r_0)=C\int_{all }exp\lbrace\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} \lbrack \frac{m}{2}\cdot\vert\frac{dr}{ds}\vert^2-V(r(s)) \rbrack ds\rbrace\cdot\psi(r(t))\cdot d\mu& eeimg=&1&& ，观察可知指数部分即为经典力学中的作用量，即： &img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7D%7D%5Cpsi%28r_0%29%3DC%5Cint_%7Ball+%7Dexp%5Clbrace%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS%5Crbrace%5Ccdot%5Cpsi%28r%28t%29%29%5Ccdot+d%5Cmu& alt=&e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}}\psi(r_0)=C\int_{all }exp\lbrace\frac{i}{\hbar}S\rbrace\cdot\psi(r(t))\cdot d\mu& eeimg=&1&& ，这就是路径积分。&/p&&p&&br&&/p&&p&简单的讲，&b&我们只是利用Trotter乘积公式对酉算子群 &img src=&///equation?tex=U%28t%29%3De%5E%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D%5Chat%7BH%7Dt%7D& alt=&U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}& eeimg=&1&& 做了变形而已。&/b&现在来关注这个积分本身。一般的一元函数积分 &img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5Etf%28t%29dt& alt=&\int_0^tf(t)dt& eeimg=&1&& ， 在&img src=&///equation?tex=R%5E1& alt=&R^1& eeimg=&1&& 上有很自然的测度可以让我们做积分，这里积分要求实数 &img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&“跑遍”区间内所有值。而路径积分中作用量是一个积分型泛函， &img src=&///equation?tex=S%3AC%5B0%2Ct%5D%5Cto+R& alt=&S:C[0,t]\to R& eeimg=&1&& ，我们这里要求 &img src=&///equation?tex=r%28t%29%5Cin+C%5B0%2Ct%5D& alt=&r(t)\in C[0,t]& eeimg=&1&& “跑遍”空间中的所有路径。与通常 &img src=&///equation?tex=R%5En& alt=&R^n& eeimg=&1&& 中的积分不同，路径积分是在函数空间 &img src=&///equation?tex=C%5B0%2Ct%5D& alt=&C[0,t]& eeimg=&1&& 上做积分。这里空间 &img src=&///equation?tex=C%5B0%2Ct%5D& alt=&C[0,t]& eeimg=&1&& 是无穷维的，其中 &img src=&///equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&& 即为函数空间上的Wiener测度。&/p&&p&&br&&/p&&p&从应用上看，路径积分对于大多数问题来讲是很不方便的。不过，重要的是，它提供了一种将拉格朗日力学和量子力学连接起来的方法。路径积分的计算中变量要“跑遍”空间 &img src=&///equation?tex=C%5B0%2Ct%5D& alt=&C[0,t]& eeimg=&1&& 中的所有路径，而当 &img src=&///equation?tex=%5Chbar%5Cto0& alt=&\hbar\to0& eeimg=&1&& 时，指数因子 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7DS& alt=&\frac{i}{\hbar}S& eeimg=&1&& 快速震荡相互抵消，只有经典力学中使得作用量 &img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 取驻值的经典路径 &img src=&///equation?tex=r%3Dr%28t%29& alt=&r=r(t)& eeimg=&1&& 保留下来。&/p&
简单地说，路径积分就是薛定谔方程： i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi 的解。 作为态矢空间的Hilbert space \mathcal{H} ，其中态随时间的演化由单参强连续酉算子群： U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} 描述。这里的自伴算子 -\frac{\…
&img src=&/50/v2-843b43f9_b.png& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&630& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/50/v2-843b43f9_r.png&&&p&本栏目中的文章可能会多次用到李群和它的离散子群。在这篇文章里我们简单的将这方面的知识梳理一下。&/p&&p&首先，李群就是有群结构的流形。我们经常遇到的李群有以下几种：&/p&&p&1、特殊线性群 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C+%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})& eeimg=&1&& 。它的定义是 &img src=&/equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&& 的行列式为1的实数矩阵组成的空间。 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})& eeimg=&1&& 表示相应的复数矩阵的空间。&/p&&p&2、特殊正交群 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSO%7D%28n%29& alt=&\mathrm{SO}(n)& eeimg=&1&& 或者 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSO%7D%28p%2Cq%29& alt=&\mathrm{SO}(p,q)& eeimg=&1&& 。前者是保持一个正定二次型（比如 &img src=&/equation?tex=%5Csum_1%5En+x_i%5E2& alt=&\sum_1^n x_i^2& eeimg=&1&& ）不变的 &img src=&/equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&& 的行列式为1的实数矩阵组成的空间，是一个紧致群；后者是保持一个签名为 &img src=&/equation?tex=%28p%2Cq%29& alt=&(p,q)& eeimg=&1&& 的二次型（比如 &img src=&/equation?tex=%5Csum_1%5Ep+x_i%5E2+-+%5Csum_%7Bp%2B1%7D%5E%7Bp%2Bq%7D+x_i%5E2& alt=&\sum_1^p x_i^2 - \sum_{p+1}^{p+q} x_i^2& eeimg=&1&& ）不变的 &img src=&/equation?tex=%28p%2Bq%29%5Ctimes+%28p%2Bq%29& alt=&(p+q)\times (p+q)& eeimg=&1&& 的行列式为1的实数矩阵组成的空间，一般不是紧致的。两个常用的同构为 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%282%2C%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})& eeimg=&1&& 与 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSO%7D%282%2C1%29& alt=&\mathrm{SO}(2,1)& eeimg=&1&& 局部同构， &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%282%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})& eeimg=&1&& 与 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSO%7D%283%2C1%29& alt=&\mathrm{SO}(3,1)& eeimg=&1&& 局部同构。&/p&&p&每个李群 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 有一个对应的李代数 &img src=&/equation?tex=%5Cmathfrak%7Bg%7D& alt=&\mathfrak{g}& eeimg=&1&& ，它是李群在每一点的切空间，上面有线性结构，还有一个李括号结构。对于每一个 &img src=&/equation?tex=g+%5Cin+G& alt=&g \in G& eeimg=&1&& ， 用它定义的共轭变换 &img src=&/equation?tex=h+%5Cmapsto+g+h+g%5E%7B-1%7D& alt=&h \mapsto g h g^{-1}& eeimg=&1&& ( &img src=&/equation?tex=G+%5Cto+G& alt=&G \to G& eeimg=&1&& )可以诱导出李代数 &img src=&/equation?tex=%5Cmathfrak%7Bg%7D& alt=&\mathfrak{g}& eeimg=&1&& 上的一个线性变换，我们记作 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BAd%7D_g& alt=&\mathrm{Ad}_g& eeimg=&1&& 。这就定义了一个 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的线性表示：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BAd%7D%3A+G+%5Cto+%5Cmathrm%7BGL%7D%28%5Cmathfrak%7Bg%7D%29& alt=&\mathrm{Ad}: G \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})& eeimg=&1&& 。我们称之为伴随表示。我们可能会用到它在外代数上诱导的表示：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cbigwedge+%5Ei+%5Cmathrm%7BAd%7D%3A+G+%5Cto+%5Cmathrm%7BGL%7D%28%5Cwedge%5Ei+%5Cmathfrak%7Bg%7D%29& alt=&\bigwedge ^i \mathrm{Ad}: G \to \mathrm{GL}(\wedge^i \mathfrak{g})& eeimg=&1&&&/p&&p&我们还会用到下面的关于 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})& eeimg=&1&& 的 Iwasawa 分解：&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C+%5Cmathbb%7BR%7D%29+%3D+K+A+N& alt=&\mathrm{SL}(n, \mathbb{R}) = K A N& eeimg=&1&& 其中 &img src=&/equation?tex=K+%3D+%5Cmathrm%7BSO%7D%28n%29& alt=&K = \mathrm{SO}(n)& eeimg=&1&& , &img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为对角矩阵组成的子群， &img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 为对角线上的元素均为1的上三角矩阵组成的子群，它是一个幂幺群。&/p&&p&一个李群 &img src=&/equation?tex=U+%5Csubset+%5Cmathrm%7BSL%7D%28N%2C+%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&U \subset \mathrm{SL}(N, \mathbb{R})& eeimg=&1&& 被称为幂幺子群（unipotent）如果里面每个元素 &img src=&/equation?tex=u& alt=&u& eeimg=&1&& 都满足&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%28u+-+%5Cmathrm%7BId%7D%29%5Ei+%3D+0& alt=&(u - \mathrm{Id})^i = 0& eeimg=&1&& 对于某个 &img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 成立（即 &img src=&/equation?tex=u+-+%5Cmathrm%7BId%7D& alt=&u - \mathrm{Id}& eeimg=&1&& 为幂零元素）。&/p&&p&我们遇到的李群都可以看成某个 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28N%2C+%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(N, \mathbb{R})& eeimg=&1&& 的子李群，即都是线性群。更进一步，我们遇到的李群都是代数群，即都是多项式定义的代数簇，而且大都可以选成整系数多项式。因此我们可以考虑它们对应的 &img src=&/equation?tex=p-adic& alt=&p-adic& eeimg=&1&& 群，比如 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C%5Cmathbb%7BQ%7D_p%29& alt=&\mathrm{SL}(n,\mathbb{Q}_p)& eeimg=&1&& ，或者Adeles群，比如 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C+%5Cmathbb%7BA%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n, \mathbb{A})& eeimg=&1&& 。一般我们记代数群为 &img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BG%7D& alt=&\mathbb{G}& eeimg=&1&& ，而李群 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 则为它的实数点 &img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BG%7D%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathbb{G}(\mathbb{R})& eeimg=&1&& 。&/p&&p&任何一个李群 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 都有唯一的左平移不变的测度 &img src=&/equation?tex=m_G& alt=&m_G& eeimg=&1&& ( &img src=&/equation?tex=m_G%28A%29+%3D+m_G%28g+A%29& alt=&m_G(A) = m_G(g A)& eeimg=&1&& )，我们称这个测度为Haar测度。&/p&&p&下面我们谈谈李群的离散子群。&/p&&p&对于任何一个李群 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的离散子群 &img src=&/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& ，商空间 &img src=&/equation?tex=G%2F%5CGamma& alt=&G/\Gamma& eeimg=&1&& （我们一般称之为齐性空间）上都有一个由Haar测度诱导的左不变测度 &img src=&/equation?tex=%5Cmu_G& alt=&\mu_G& eeimg=&1&& 。如果 &img src=&/equation?tex=%5Cmu_G%28G%2F%5CGamma%29& alt=&\mu_G(G/\Gamma)& eeimg=&1&& 是有限的，则我们称 &img src=&/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 为 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的一个格子群（lattice）。一个著名的结论就是对于一个代数群 &img src=&/equation?tex=G+%3D+%5Cmathbb%7BG%7D%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&G = \mathbb{G}(\mathbb{R})& eeimg=&1&& ，它的整数点 &img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BG%7D%28%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\mathbb{G}(\mathbb{Z})& eeimg=&1&& 一定是 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的格子群，比如 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})& eeimg=&1&& 就是 &img src=&/equation?tex=%5Cmathrm%7BSL%7D%28n%2C+%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})& eeimg=&1&& 的一个格子群。我们一般称 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的整点为 &img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 的算术子群（arithmetic subgroup）。&/p&&p&&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 在 &img src=&/equation?tex=G%2F%5CGamma& alt=&G/\Gamma& eeimg=&1&& 有一个自然的左平移作用，它是保持 &img src=&/equation?tex=%5Cmu_G& alt=&\mu_G& eeimg=&1&& 不变的。&/p&&p&&/p&
本栏目中的文章可能会多次用到李群和它的离散子群。在这篇文章里我们简单的将这方面的知识梳理一下。首先，李群就是有群结构的流形。我们经常遇到的李群有以下几种：1、特殊线性群 \mathrm{SL}(n, \mathbb{R}) 。它的定义是 n\times n 的行列式为1的实数矩…
&img src=&/50/v2-83a67d512d72e53ae148b_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/50/v2-83a67d512d72e53ae148b_r.jpg&&&p&Image from: &a href=&/?target=http%3A//bostonreview.net/books-ideas/matthew-buckley-search-new-physics-cern-part-2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Hitchhiker’s Guide to Quantum Field Theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&Source: &a href=&/?target=http%3A//path-integral-project.readthedocs.io/en/latest/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Path Integral Project&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&近期我们完成了 Path Integral Project 的第一次大版本更新。Path Integral Project 旨在描述路径积分形式下量子场论的构造。&/p&&p&目前学界对量子场论的构造存在诸多说法。我们参考了包括Peskin(1995), Ryder(1996), Itzykson(1980)等参考书中对路径积分形式的叙述， 集合各种说法的优势，形成下述文档&/p&&blockquote&Document: &a href=&/?target=http%3A//path-integral-project.readthedocs.io/en/latest/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Path Integral Project&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&本文目录预览如下&/p&&img src=&/v2-750e46ee33eae6c0c337e_b.jpg& data-rawwidth=&2550& data-rawheight=&4200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2550& data-original=&/v2-750e46ee33eae6c0c337e_r.jpg&&&p&按照计划，我们还将完成以下后续内容，敬请期待&/p&&ul&&li&Quantization of Dirac and gauge field&/li&&li&QED&/li&&li&Scattering theory&/li&&li&Compton scattering & its experimental verification&/li&&/ul&
Image from: Source: 近期我们完成了 Path Integral Project 的第一次大版本更新。Path Integral Project 旨在描述路径积分形式下量子场论的构造。目前学界对量子场论的构造存在诸多…
&p&强答一发。利益相关：曾经靠着这个哈密顿量养家糊口，挣了几碗饭钱。。。&/p&&br&&p&接下来题主可能需要的知识有：固体物理级别的k dot p理论简介和简单的群论知识。群论方面大概需要一些简单的群表示论的知识（比如看懂character table这样的）和一丢丢连续群的知识。相信这些知识储备都不是什么大问题。&/p&&p&下面我就简单说说我比较常用的三种构建k dot p的方法。&/p&&br&&p&（1）暴力破解法——最简单粗暴无脑的方法。&/p&&p&最近几年，Maximal localized Wannier function (MLWF)在第一性计算中得到了广泛的应用，尤其在计算各种拓扑材料的表面态方面大放异彩。根据MLWF，我们可以将第一性结果中一定能量范围内的能带，用一个紧束缚模型来描述，而且紧束缚模型与第一性吻合的相当不错。得到这个紧束缚模型之后，我们就可以暴力的在高对称点附近做小量展开，然后用lowdin perturbation的办法强行将十几个能带的紧束缚模型，投影成几个能带的低能有效模型。这个低能有效模型就是在此高对称点上的k dot p模型啦^_^。是不是很简单粗暴。。。&/p&&p&这种办法的好处就是直接可以得到k dot p模型中的所有系数，不需要人为进行拟合。但缺点就是要想要进一步分析模型中的物理（比如Dirac point啥的），还需要在额外下功夫分析。&/p&&p&关于lowdin perturbation，一个很好的参考文献是Winkler的 《spin orbit coupling effects in two dimensional electron and hole systems》的某个附录。我记得他这个附录里至少给出了三阶微扰的公式。但原则上，他给出了一种矩阵变换的办法是可以算到无穷阶的，不过一般二阶微扰就足够了。&/p&&br&&p&（2）标准k dot p——最标准的k dot p。&/p&&br&&p&这是我最常用的办法，用Na3Bi举个例子吧。。。
&/p&&p&首先，我们需要确定体系的对称性。在Gamma点，我们关心的对称性有C3（实际上是full rotation），时间反演TR还有空间反射P。这些对称算符怎么写，取决于我们选取的基。&/p&&br&&p&根据第一性的结果，我们知道在费米面附近的电子态分别为&/p&&img src=&/v2-a21e7f1715952cfb7a7aff_b.png& data-rawwidth=&941& data-rawheight=&117& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&941& data-original=&/v2-a21e7f1715952cfb7a7aff_r.png&&&br&&p&这就是我们构建哈密顿量和对称算符的基。&/p&&p&下面我们就可以填矩阵元了。一共4乘4的矩阵，十六个矩阵元。首先来看对角线上的四个矩阵元。因为电子空穴不对称的项都在e0(k)里面了，所以我们很自然的写出了diag{M,-M,M,-M}的形式，其中H11=H33=M(k)和H22=H44=-M(k)是从时间反演+空间反射的约束条件中来的。由于对角项都是类似&1/2|H|1/2&这样的项，其中bra和ket的角动量相同，所以M（k）必须不带任何有k+和k-的项，也就必须长成题主所说的那样啦。这里相当于对M(k)做了泰勒展开，展到了二阶项。&/p&&p&接下来说说H12的矩阵元为什么等于k+。根据基矢和标准k dot p 理论&/p&&img src=&///equation?tex=H_%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm%7Dk_%2B%5Clangle+1%2F2%7Cp_-%7C3%2F2%5Crangle+%3DAk_%2B& alt=&H_{12}=\frac{\hbar}{m}k_+\langle 1/2|p_-|3/2\rangle =Ak_+& eeimg=&1&&&p&这里，我们把那一坨东西定义成了A。&/p&&br&&p&这样，我们可以总结一下规律了。&b&对于 &img src=&///equation?tex=H_%7Bn%2Cm%7D%3D%5Clangle+n%7CH%7Cm%5Crangle& alt=&H_{n,m}=\langle n|H|m\rangle& eeimg=&1&& ，如果m的角动量比n高l，那么 &img src=&///equation?tex=H_%7Bn%2Cm%7D%3D%28k_%2B%29%5El& alt=&H_{n,m}=(k_+)^l& eeimg=&1&& 。反之，如果m的角动量比n低l，那么 &img src=&///equation?tex=H_%7Bn%2Cm%7D%3D%28k_-%29%5El& alt=&H_{n,m}=(k_-)^l& eeimg=&1&& 。这样我们通过读取基矢的角动量，就可以轻而易举的把所有矩阵元都填出来了&/b&，是不是很简单！&/p&&br&&p&但是！&/p&&br&&p&这里我们只考虑了角动量守恒，也就是旋转对称性的约束。其他的对称性，比如时间反演，空间反射，镜像等等，会给哈密顿量额外的约束。这些约束条件有的会让某些矩阵元消失，有的会对 &img src=&///equation?tex=%28k_-%29%5El& alt=&(k_-)^l& eeimg=&1&& 前面的系数有要求（比如Na3Bi中的B（k）项）。把这些所有的对称性都考虑进来，就会很自然的得到题主所提到的Na3Bi的k dot p理论了。&/p&&br&&br&&p&（3）不变量法——最系统的的方法（题主最想知道的？）&/p&&br&&p&拿Bi2Se3举个例子吧。&/p&&br&&p&安利一篇我心目中在拓扑绝缘体建模界的里程碑式的文章，《Model
Hamiltonian for topological insulators》(arXiv:)。 这篇文章详细介绍了如何从零开始构建Bi2Se3拓扑绝缘体家族的k dot p有效哈密顿量。下面带领题主童鞋以一个奇怪的顺序预习一遍这篇文章。这里我只简单谈一下基本思想，具体细节还是要靠题主自己好好研读了。&/p&&br&&p&首先翻开附录A（嗯？），我们看到了一堆看着就头大的某点群（以及其double group）的character table以及各种群表示。好吧。。。下面来看附录B。&/p&&br&&p&&b&任何4乘4的矩阵都可以用15个4乘4的Gamma矩阵（加一个Identity矩阵）作为基矢进行展开！&/b&这个事情简直厉害炸了好嘛，这告诉我们，这个哈密顿量的乐高世界的积木一共只有十六块。。。方程B1到B5就是在定义这15个矩阵。然后B8到B28就是在讲这一堆Gamma矩阵在点群对称性的变换性质。&/p&&br&&p&接着，我们来到了Table III，一个至关重要的表。这个表告诉我们，所有的Gamma矩阵和k的多项式们到底都属于群的哪个表示！&/p&&br&&p&怎么样得到哈密顿量呢？！再简单不过了！原文正文中有这么一句话：“&b&&i&由于我们希望满足时间反演和晶格对称性，我们必须选择处于相同群表示的Gamma矩阵还有k的多项式（然后把这俩个东东乘在一起）。&/i&&/b&”&/p&&br&&p&举个例子，在正文的Eq （16）中的Bi2Se3的有效哈密顿量里，（kx,ky）和（Gamma1,Gamma2）耦合在一起，原因就是它们都属于Table III中的 &img src=&///equation?tex=%5Ctilde%7B%5CGamma%5E-_3%7D& alt=&\tilde{\Gamma^-_3}& eeimg=&1&& 表示。&/p&&br&&p&就这样查表，然后乘起来。。。这就是传说中的不变量法。是不是有点太简单了？！&/p&&br&&p&整理一下思路：&/p&&p&[1] 根据第一性结果等办法分析出低能有效理论的电子态，作为哈密顿量的基。&/p&&p&[2] 根据上述基，定义所有关心的对称性操作的算符。&/p&&p&[3] 找到并分析体系在高对称点的点群（double group）的所有群表示。&/p&&p&[4] 定义15个Gamma矩阵，并通过对称操作，找出其所对应的群表示。&/p&&p&[5] 将Gamma矩阵与处于相同群表示的k的多项式配对，写出哈密顿量。&/p&&p&[6] 投PRB。。。。&/p&&br&&p&接下来，Na3Bi的k dot p的不变量法构造，就交给题主当作家庭作业了。&/p&&br&&p&最后，这次把组里吃饭的工具都拿出来了，可千万不能让老板知道了。。。。。。&/p&&p&祝大家灌水灌得开心^_^&/p&
强答一发。利益相关：曾经靠着这个哈密顿量养家糊口，挣了几碗饭钱。。。 接下来题主可能需要的知识有：固体物理级别的k dot p理论简介和简单的群论知识。群论方面大概需要一些简单的群表示论的知识（比如看懂character table这样的）和一丢丢连续群的知识…
&h2&1. 前言&/h2&&p&以前的文章中，介绍了双电层理论（&a href=&/p/& class=&internal&&“双电层”理论的三个模型 - 知乎专栏&/a&），其中，仅有“电荷分布”的变化，即处于非法拉第过程。那么，在法拉第过程中呢，即：&/p&&blockquote&&b&如果电荷发生了转移，那么“双电层”会如何呢？&/b&&/blockquote&&p&我们将复杂问题拆解，将目光锁定在“扩散层（diffusion layer）”。通过挖掘“扩散层”的概念，来部分理清法拉第过程中的“双电层”。&br&&/p&&br&&p&扩散层，可定义为：&br&&/p&&blockquote&&b&除电极表面外，电解液中物质浓度的时空分布。&/b&&/blockquote&&p&需要强调：浓度分布有两个维度——空间和时间&br&&/p&&p&很多人只有一个空间的意识，这往往会对概念的理解产生偏差。&/p&&br&&br&&h2&2. 建立模型&/h2&&p&建议一个最具普适性的模型，满足如下三条基本假设：&/p&&p&（1）选取最基本电极形式：一个平面，（x=0处即为电极表面）；&br&&/p&&p&（2）选取最基本的电化学过程（单电子参与的氧化还原）：&img src=&/equation?tex=O%2Be%5E%7B-%7D%5Cleftrightarrow+R& alt=&O+e^{-}\leftrightarrow R& eeimg=&1&&，且该反应足够快速；&/p&&p&（3）仅考虑线性扩散：离子只有靠近和远离电极这两种运动；&/p&&p&于是，该模型可近似由下图表示：&/p&&br&&img src=&/50/v2-f8d14ab358f0ccb7fd432fe_b.png& data-rawwidth=&519& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&519& data-original=&/50/v2-f8d14ab358f0ccb7fd432fe_r.png&&&p&从这个模型中，我们进一步确定三个边界条件：&/p&&p&（1）在最开始的状态（t=0），电解液中的物质浓度都为&img src=&/equation?tex=C_%7BO%7D%5E%7B%2A%7D+& alt=&C_{O}^{*} & eeimg=&1&&：&br&&img src=&/50/v2-e2ca8bd44bdb530bc9012f_b.png& data-rawwidth=&167& data-rawheight=&34& class=&content_image& width=&167&&&/p&&p&（2）在距离电极无穷远处（x→&img src=&/equation?tex=%5Cinfty+& alt=&\infty & eeimg=&1&&），电解液中的物质浓度都为&img src=&/equation?tex=C_%7BO%7D%5E%7B%2A%7D+& alt=&C_{O}^{*} & eeimg=&1&&：&br&&img src=&/50/v2-52fd9da19ee1f776f24b5_b.png& data-rawwidth=&206& data-rawheight=&44& class=&content_image& width=&206&&&/p&&p&（3）所有接触电极的反应物O，瞬间被还原，即电极表面的O浓度永远为0：&br&&img src=&/50/v2-5ee72ef2fe13cc44f06cd1e452ef07e1_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&36& class=&content_image& width=&149&&&/p&&h2&3. 模型求解&/h2&&p&这时，因为考虑扩散的时间维度，我们可以使用工具“菲克第二定律”，进行模型的描述：&/p&&p&&img src=&/50/v2-355acef1c3d4596dbcf220bcb869c16c_b.png& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&81& class=&content_image& width=&272&&通过代入三个边界条件，并借助拉普拉斯变换，可以得出该上式的表达式。&/p&&img src=&/50/v2-4e3ea1dd95b5c2c9a0893_b.png& data-rawwidth=&293& data-rawheight=&79& class=&content_image& width=&293&&&p&其中，erf为误差函数，其趋势如下图所示：&/p&&p&&img src=&/50/v2-d7bade9a5eba9bfaf128ba4_b.png& data-rawwidth=&343& data-rawheight=&302& class=&content_image& width=&343&&至此，我们建立起了，法拉第过程中，扩散层中反应物O浓度分布的数学模型。&/p&&p&这个公式中，同时反映了空间（x）和时间（t）的影响，该模型的模拟图像如下，从中可明显感受到时间维度对扩散层的影响。&/p&&br&&img src=&/50/v2-9e6c8c8e6a115ab19f1f1c121d9789d9_b.png& data-rawwidth=&711& data-rawheight=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&711& data-original=&/50/v2-9e6c8c8e6a115ab19f1f1c121d9789d9_r.png&&可以用&img src=&/equation?tex=%28D_%7BO%7Dt%29+%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D& alt=&(D_{O}t) ^{\frac{1}{2} }& eeimg=&1&&这个参数来表征，时间t内，O的扩散距离。另外，普遍使用6&img src=&/equation?tex=%28D_%7BO%7Dt%29+%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D& alt=&(D_{O}t) ^{\frac{1}{2} }& eeimg=&1&&所表征的距离来代表扩散层的厚度，超过这个距离就可以认为是浓度恒定的体相电解液了。&br&&br&&h2&4. 扩展&/h2&&p&以上从浓度变化的角度去分析了扩散层。但是电化学的本质是物质变化与电荷转移的关系。于是，要建立电流（&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&）和浓度变化（&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+C%7D%7B%5Cpartial+x%7D+& alt=&\frac{\partial C}{\partial x} & eeimg=&1&&）间的联系。&/p&&p&此时，让我们使用“菲克第一定律”，将电流和物质的一维变化，通过流量（J）作为中间量来建立如下联系：&/p&&img src=&/50/v2-3e1b5a86d5facd_b.png& data-rawwidth=&381& data-rawheight=&85& class=&content_image& width=&381&&&p&实际分析中，我们能够获得信号是电信号，比如电流（&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&）。为了便于实验检测等，最好得出电流与时间的关系。&br&&/p&&p&于是，代入第3部分的数学模型，&/p&&img src=&/50/v2-4e3ea1dd95b5c2c9a0893_b.png& data-rawwidth=&293& data-rawheight=&79& class=&content_image& width=&293&&&br&&p&可得，电流与时间的描述：&br&&/p&&p&&img src=&/50/v2-e456bc72b8b98aaecbee2e8_b.png& data-rawwidth=&249& data-rawheight=&71& class=&content_image& width=&249&&这就是&/p&&blockquote&&b&Cottrell公式&/b&&/blockquote&&p&其中，&img src=&/equation?tex=i%28t%29& alt=&i(t)& eeimg=&1&&被称为：平面电极线性极限扩散电流，对应于第2部分中建立起的模型。至此，我们可以通过获得电流信号，来分析了法拉第过程中的扩散层信息。&/p&&br&&br&&h2&5. 总结&/h2&&p&（1）法拉第过程中的双电层分析集中于“扩散层”；&/p&&p&（2）扩散层具有空间和时间两个维度；&/p&&p&（3）扩散电流随时间变化可由Cottrell公式进行描述。&/p&&br&&br&&p&参考文献：&i&Bard A J & Faulkner L R, (2003) Electrochemical methods: fundamentals and applications. New York: Wiley.&/i&&/p&
1. 前言以前的文章中，介绍了双电层理论（），其中，仅有“电荷分布”的变化，即处于非法拉第过程。那么，在法拉第过程中呢，即：如果电荷发生了转移，那么“双电层”会如何呢？我们将复杂问题拆解，将目光锁定在“扩散…
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录
6052 人关注
1863 条内容
190 人关注
842 条内容
601 人关注
644 人关注}