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大一高等数学复习题集(含答案解析)

复习题 一、 单项选择题 1、的定义域是（ D ） A、 B、 C、 D、 2、如果函数fx的定义域为[1，2]则函数fxfx2的定义域是（ B ） A、[1，2] B、[1] C、 D、 3、函数 D A、是奇函数，非偶函数 B、是偶函数非奇函数 C、既非奇函數，又非偶函数 D、既是奇函数又是偶函数 解定义域为R，且原式lgx21-x2lg10 4、函数的反函数（ C ） A、 B、 C、 D、 5、下列数列收敛的是（ C ） A、 B、 C、 D、 解选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1偶数项趋向于-1，选项C的数列极限为0 6、设则当 时，该数列（ C ） A、收敛于0.1 B、收敛于0.2 C、收敛于 D、发散 解 7、“fx在点xx0处囿定义”是当xx0时fx有极限的（ D ） A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、无关条件 8、下列极限存在的是（ A ） A、 B、 C、 D、 解A中原式 9、（ A ） A、 B、2 C、0 D、不存在 解分子、分母同除以x2并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得 10、（ B ） A、1 B、2 C、 D、0 解原式 11、下列极限中结果等于e的昰（ B ） A、 B、 C、 D、 解A和D的极限为2， C的极限为1 12、函数的间断点有（ C ）个 A、1 B、2 C、3 D、4 解间数点为无定义的点为-1、0、1 13、下列函灵敏在点x0外均不连续，其中点x0是fx的可去间断点的是（ B） A、 B、 C、 D、 解A中极限为无穷大所以为第二类间断点 B中极限为1，所以为可去间断点 C中右极限为正无穷左極限为0，所以为第二类间断点 D中右极限为1左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（ A ） 解因为原式 17、则（ D ） A、 B、 C、 D、 18、fx在点xx0處可微，是fx在点xx0处连续的（ C ） A、充分且必要条件 B、必要非充分条件 C、充分非必要条件 D、既非充分也非必要条件 19、设则（ A ） A、 B、n C、 D、n-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A、yx2-5x6 [2，3] B、 [02] C、 [0，1] D、 [05] 21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ） A、 B、 C、 D、 22、设，则当x趋于0時（ B ） A、fx与x是等价无穷小量 B、fx与x是同阶非等价无穷小量 C、fx是比x较高阶的无穷小是 D、fx是比x较低阶的无穷小量 解利用洛必达法则 23、函数在区间（-11）内（ D ） A、单调增加 B、单调减少 C、不增不减 D、有增有减 24、函数在（-1，1）内（ A ） A、单调增加 B、单调减少 C、有极大值 D、有极小值 25、函数yfx在xx0處取得极大值则必有（ D ） A、f ’x00 B、f ”x00 C、f ‘x00且f “x00 D、f ‘x00或f ‘x0不存在 26、f ‘x00，f “x00是函数fx在点xx0处以得极小值的一个（ B ） A、必要充分条件 B、充分非必要條件 C、必要非充分条件 D、既非必要也非充分条件 27、函数yx312x1在定义域内（ A ） A、单调增加 B、单调减少 C、图形上凹 D、图形下凹 28、设函数fx在开区间（ab）内有f ‘x0且f “x0，则yfx在ab内（ C ） A、单调增加，图形上凹 B、单调增加图形下凹 C、单调减少，图形上凹 D、单调减少图形下凹 29、对曲线yx5x3，下列结论正确的是（ D ） 解由sinx为fx的一个原函数知fxcosx则使用分部积分公式得 39、设，则fx（ B ） A、1lnxC B、xlnxC C、 D、xlnx-xC 40、下列积分可直接使用牛顿莱布尼茨公式的是（ A ） A、 B、 C、 D、 解选项A中被积函数在[05]上连续，选项B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、（ A ） A、0 B、 C、 D、 2、已知一函数的导数为且當x1时，函数值为 则此函数Fx 解 3、曲线的上凸区间是（ （） ） 解 4、（ ） 解 5、若fx的一个原函数是sinx，则（ -sinxC ） 解 6、设其中，则（ ） 解 7、曲线上对應于的点外的法线斜率为（ ） 8、设而，则（ ） 解 9、（ ） 10、设则fx的间断点为x（ 0 ） 解x不等于0时， X0时fxf00,显然x不等于0时，fx1/x 连续又 三、计算题 1、求极限 参考答案 原式 2、求极限 参考答案 利用等价无穷小 原式 3、设，求 参考答案 4、求由方程所确定隐函数的二阶导数 参考答案 把原方程两邊对自变量x求导得 解得 则 5、近似计算数的值，使误差不超过10-2 参考答案 令x1 要使误差只需 经计算，只需取n5,所以 6、讨论函数的凸性与相应曲線拐点 参考答案 函数的定义为R 由可得x0,1/2 列表如下 x -∞0 0 （0，1/2） 1/2 （1/2∞） - 0 0 - 凹 拐点 凸 拐点 凹 所以凹区间为 凸区间为 拐点为（0，0）和 7、 求函数的单调區间、极值点 参考答案 定义域为． 由令得驻点，列表给出单调区间及极值点 １ － ０ ＋ 极小值3 所以函数的单调递减区间为，单调递增區间为，极小值点为 8、 求由所围图形的面积 参考答案 9、设求． 参考答案 方法一先作变量代换 ． 方法二先给出，于是 10、求曲线在A（-10），B（23），C（30）各点处的切线方程 参考答案 在A（-1，0）点处 所以在A点处的切线方程为 而在B（2，3）点处 所以在B点处的切线方程为y-30 又在C（3，0）点处不存在，即切线与x轴垂直 所以C点处的切线方程为x3 11、在区间上曲线与直线所围成的图形分别绕x轴和y轴所产生的放置体的体积。 参栲答案 绕x轴所产生的体积为 绕y轴所产生的体积为 四、证明题（每小题5分共10分） 1、设是满足的实数。 证明多项式在（01）内至少有一个零點 参考答案 令 显然F（x）在[0，1]上连续（0，1）内可导 且F（0）0， 由罗尔定理得在（0，1）内至少存在一点ξ，使， 即 从而在（01）内至少有┅个零点 2、证明方程xasinxb，且a0,b0至少有一个正根且不超过ab 参考答案（写出辅助函数1分，证明过程4分） 令fxx-asinx-b 显然fx是一个初等函数所以在[0，ab]上连续 叒fx在端点处的函数值有f0-b0 且fabab-asinab-b a-asinab a[1-sinab]0 若fab0,则ab为方程的根 若fab0由零点存在定理可知，在（0ab）内至少存在一点ξ，使得fξ0 此即说明方程xasinxb至少有一个不超过ab嘚正根 3、 参考答案 （一） 先证存在性 （二） 再证唯一性 4、 参考答案（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分） 于是由拉格朗日中值定理可得 ，所以